[論文レビュー] Nearly locally presentable categories

Leonid Positselski, Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特別なλ-有向列挙（サイズがλ未満の部分コプロダクトからの列挙）に注目することで、局所的コンパクト性の条件を弱めた一般化として、ほぼ局所的コンパクト圏を導入する。主な貢献は、一般には局所的コンパクト圏よりも弱いが、アーベルの場合には局所的コンパクト圏と一致すること、および完全部分順序（CPO）の圏が、集合論的仮定に依存しない自然な例として、局所的コンパクトでないほぼ局所的有限コンパクト圏を提供することにある。これはドメイン理論および理論的コンピュータ科学におけるその重要性を示している。

ABSTRACT

We introduce a new class of categories generalizing locally presentable ones. The distinction does not manifest in the abelian case and, assuming Vopenka's principle, the same happens in the regular case. The category of complete partial orders is the natural example of a nearly locally finitely presentable category which is not locally presentable.

研究の動機と目的

• 特別なλ-有向列挙（サイズがλ未満のコプロダクトの部分集合によるインデックス付き列挙）を用いたほぼλ-コンパクト対象の導入により、局所的コンパクト性の概念を一般化すること。
• cocompleteな圏で、ほぼλ-コンパクト対象の強い生成集合を持ち、各対象に対して集合個の強い商のみを持つ圏として、ほぼ局所的λ-コンパクト圏を定義すること。
• ほぼ局所的コンパクト圏と局所的コンパクト圏の関係を、ヴォペニカの原理のような集合論的仮定のもとで調査すること。
• 例えば完全部分順序（CPO）の圏のような、局所的コンパクトでないがほぼ局所的コンパクトである自然な例を同定すること。
• 特に正規分解とモノモルフィズムを持つ圏において、ほぼ局所的コンパクト圏と局所的コンパクト圏が一致する条件を確立すること。

提案手法

• ホム関手が特別なλ-有向列挙（サイズがλ未満のコプロダクトの部分集合によるインデックス付き列挙）を保存する対象として、ほぼλ-コンパクト対象を定義する。
• cocompleteで、ほぼλ-コンパクト対象の強い生成集合を持ち、各対象に対して集合個の強い商しか持たない圏として、ほぼ局所的λ-コンパクト圏を定義する。
• 多くの圏（例えば、ポイント付き圏やアーベル圏）ではコプロダクトの埋め込みがモノモルフィズムであることを利用し、ほぼコンパクト対象の特徴づけを簡略化する。
• 反射的部分圏技術を適用し、特別なλ-有向列挙を保存するプレシャーフ圏の完全な反射的部分圏は、ほぼ局所的コンパクトであることを示す。
• [3]および[4]におけるコアフレクティブ部分圏と保存関手に関する結果を活用し、閉包性および生成性の性質を証明する。
• （強いエピモルフィズム、モノモルフィズム）-分解を用い、ほぼコンパクト性を正規分解と関連づけ、列挙に関する安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、ほぼ局所的コンパクト圏が局所的コンパクト圏となるか？
• RQ2 集合論的仮定に依存しない、局所的コンパクトでないがほぼ局所的コンパクトな自然な例は存在するか？
• RQ3 モノモルフィズムを持つ圏において、ほぼコンパクト対象はλ-コンパクト対象およびλ-生成対象とどのように関係するか？
• RQ4 ヴォペニカの原理は、ほぼ局所的コンパクト圏が局所的コンパクト圏であるかどうかを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 特別なλ-有向列挙を保存するプレシャーフ圏の反射的部分圏として、ほぼ局所的コンパクト圏を特徴づけられるか？

主な発見

• 完全部分順序（CPO）の圏は、ほぼ局所的有限コンパクトであるが局所的コンパクトではない。これは、集合論的仮定に依存しない自然な例として、局所的コンパクトでないほぼ局所的コンパクト圏を提供する。
• アーベルの場合、すべてのほぼ局所的コンパクト圏は局所的コンパクト圏である。これは、この文脈では区別が消えることを示している。
• ヴォペニカの原理のもとで、正規分解を持つほぼ局所的コンパクト圏は局所的コンパクト圏である。この同値性は、このような設定においてヴォペニカの原理と同値である。
• ほぼコンパクト対象は、特にコプロダクトの埋め込みがモノモルフィズムである場合、λ-コンパクト対象およびλ-生成対象を一般化する。
• ほぼ局所的λ-コンパクト圏のクラスは、関手圏をとる操作に関して閉じている。すなわち、K がほぼ局所的λ-コンパクトでC が小さいならば、KC はほぼ局所的λ-コンパクトである。
• ほぼ局所的コンパクト圏において、モノモルフィズムは特別なλ-有向列挙に関して安定である。これは重要な構造的性質である。