[論文レビュー] Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix

Pavel Okunev, Charles R. Johnson|ArXiv.org|Jun 19, 2005

Matrix Theory and Algorithms参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、任意の正方行列が体上にLU分解をもつための必要十分条件を確立し、非正則行列へのガウスの消去法の一般化を実現する。行列がLU分解をもつのは、すべてのサイズ $k$ について、$k$ 階の主小行列に対して、$ ext{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ が成り立つときである。この結果により、LU分解を構成的に計算するアルゴリズムが可能となり、標準的なLU分解が失敗する場合のほぼLU分解への拡張も可能になる。

ABSTRACT

If $A$ is an n-by-n matrix over a field $F$ ($A\in M_{n}(F)$), then $A$ is said to ``have an LU factorization'' if there exists a lower triangular matrix $L\in M_{n}(F)$ and an upper triangular matrix $U\in M_{n}(F)$ such that $$A=LU.$$ We give necessary and sufficient conditions for LU factorability of a matrix. Also simple algorithm for computing an LU factorization is given. It is an extension of the Gaussian elimination algorithm to the case of not necessarily invertible matrices. We consider possibilities to factors a matrix that does not have an LU factorization as the product of an ``almost lower triangular'' matrix and an ``almost upper triangular'' matrix. There are many ways to formalize what almost means. We consider some of them and derive necessary and sufficient conditions. Also simple algorithms for computing of an ``almost LU factorization'' are given.

研究の動機と目的

• 体上の任意の正方行列がLU分解をもつための正確な条件を同定すること。
• 古典的なLU分解アルゴリズムを、必ずしも正則でない行列へと拡張すること。
• ランク条件に基づいた構成的アルゴリズムを用いてLU分解を計算すること。
• 標準的なLU分解が存在しない場合の「ほぼLU」分解を形式化・分析すること。
• LU分解、行列のランク、初等行変形の間の理論的および計算的関係を確立すること。

提案手法

• ブロック行列の分割と行列積のランク不等式を用いて、LU分解のための必要ランク条件を導出する。
• 行列サイズに関する帰納法を用いて十分性を証明し、L と U をブロックごとに構成する。
• 問題をより小さいLU分解に還元するため、因子補完行列 $B = A_{22} - L_{21}U_{12}$ を定義する。
• L と U の行列を再帰的に構築し、下三角および上三角構造が保たれることを保証する。
• 標準的なLU分解が失敗する場合に、ランク不足の近似を用いて「ほぼLU」分解を導入する。
• 初等行変形を通じて、置換行列と三角行列分解との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正方行列が体上にLU分解をもつための必要十分条件は何か？
• RQ2 非正則な行列に対しても、標準的なガウスの消去法をどのように一般化できるか？
• RQ3 行列 $A$ が特異的またはランク不足である場合、$A = LU$ と因数分解できる条件は何か？
• RQ4 標準的なLU分解が失敗する場合に存在する代替的因数分解は何か、そしてそれらを体系的に計算する方法は何か？
• RQ5 浮動小数点演算における摂動に対して、LU分解の連続性と一意性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 行列 $A \in M_n(F)$ がLU分解をもつのは、すべての $k = 1,\dots,n$ に対して不等式 $\text{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ が成り立つときである。
• 提案されたアルゴリズムは、ブロック方程式 $a_{11} = l_{11}u_{11}$, $A_{21} = L_{21}u_{11}$, $A_{12} = l_{11}U_{12}$, および $A_{22} = L_{21}U_{12} + L_{22}U_{22}$ を満たすように、L と U を再帰的に構成する。
• ランク条件が最大 $m$ だけ満たされない場合、論文は $A = HV$ として「ほぼLU」分解を構成する。ここで $H$ は下三角行列、$V$ は上三角行列であり、$H$ の最初の $m$ 行と $V$ の最初の $m$ 列はゼロである。
• 任意の正方行列 $A$ に対して、置換行列 $P$、下三角行列 $L$、上三角行列 $U$ を用いて $A = PLU$ が常に存在する。これは、行の置換によりランク条件を満たすようにする。
• 論文は、$A = U_1LU_2$ および $A = L_1UL_2$ が常に三角行列 $U_1, U_2, L_1, L_2$ を用いて可能であることを示し、古典的因数分解定理を拡張する。
• 浮動小数点演算において、行列が正則でないか、因数分解が一意でない場合には、標準的なアルゴリズムでは一般にLU分解が計算不能である。これは連続性と近傍安定性の欠如による。