[論文レビュー] Negative moments for Gaussian multiplicative chaos on fractal sets

Christophe Garban, Nina Holden+2 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな台を持つ有限Borel測度 $\sigma$ と有限な $d$-次元エネルギー $\mathcal{E}_d(\sigma)<\infty$ を持つ任意のものに対して、部分的臨界なガウス型乗法的混沌（GMC）測度 $\mu_{\gamma h}^\sigma$ の全質量が、$\sigma$ がスケーリング不変性を持たない場合でさえ、すべての順序の負のモーメントを持つことを確立する。証明は、半平面におけるガウス自由場（GFF）のスケーリングに依存しない独立成分への分解を用い、Kahaneの凸性不等式を適用して尾部挙動を制御する。

ABSTRACT

The objective of this note is to study the probability that the total mass of a sub-critical Gaussian multiplicative chaos (GMC) with arbitrary base measure $σ$ is small. When $σ$ has some continuous density w.r.t Lebesgue measure, a scaling argument shows that the logarithm of the total GMC mass is sub-Gaussian near $-\infty$. However, when $σ$ has no scaling properties, the situation is much less clear. In this paper, we prove that for any base measure $σ$, the total GMC mass has negative moments of all orders.

研究の動機と目的

• 基底測度 $\sigma$ がスケーリング性を持たないフラクタル集合に台を持つ場合に、ガウス型乗法的混沌（GMC）測度のすべての順序の負のモーメントの存在を確立すること。
• 自己相似性やクエンチドスケーリング不変性を欠く、臨界確率的浸透のスペクトル標本のような集合におけるGMCの小質量尾部確率を解析する際、標準的なスケーリング論法が失敗する問題を克服すること。
• 基底測度 $\sigma$ に対して最小限の仮定のもとで、$\mathbb{P}(\mu_{\gamma h}^\sigma(\mathbb{D}) < \varepsilon)$ の定量的尾部バウンドを $\varepsilon \to 0$ のときにも得ること。
• Lebesgue測度や自己相似測度に限らない一般の基底測度 $\sigma$ に対して、GMC理論を有限な $d$-次元エネルギー $\mathcal{E}_d(\sigma) < \infty$ を満たすものに拡張すること。

提案手法

• 単位円板 $\mathbb{D}$ 上のゼロ境界条件を満たすガウス自由場（GFF）$h$ を、$h = h^+ + h^- + h_{\partial H}$ と分解する。ここで $h^+$ と $h^-$ はそれぞれ半平面 $H^+_{\zeta}$ と $H^-_{\zeta}$ 上のGFFであり、$h_{\partial H}$ は $\mathbb{D} \setminus \partial H$ 上で調和的である。
• 円平均正則化子を用いて $h_\varepsilon$ を定義し、GMC測度の収束を保証する：$\mu_{\gamma h}^\sigma = \lim_{\varepsilon \to 0} \int e^{\gamma h_\varepsilon(x) - \frac{\gamma^2}{2}\mathbb{E}[h_\varepsilon^2(x)]} \sigma(dx)$。
• Kahaneの凸性不等式を適用して、GMC質量のモーメント母関数を制御し、問題を調和的部 $h_{\partial H}$ の指数モーメントのバウンドに還元する。
• 重要な主張を確立：任意の非原子的測度 $\sigma$ に対して、ある半平面 $H$ と $\zeta > 0$ が存在し、$4\sigma(H^\pm_\zeta \cap \mathbb{D}) > \sigma(\mathbb{D})$ を満たす。これにより、$H^+_{\zeta}$ と $H^-_{\zeta}$ 上の独立なGMCの下界を得る。
• $h^+$, $h^-$, $h_{\partial H}$ の独立性を用いて、$\mathbb{E}[\exp(-t \mu_{\gamma h}^\sigma)]$ の期待値を、調和的部と独立なGMCに依存する積に分解する。
• コンパクト部分集合 $H^\pm_\zeta$ 上で $h_{\partial H}$ の連続性と有界性を用いて、$\mathbb{E}[\sup_{z \in H^\pm_\zeta} \exp(-\eta \gamma 2^{n+1} h_{\partial H}(z))] < \infty$ を示し、モーメントバウンドを完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底測度 $\sigma$ がスケーリング不変性を持たない場合でも、フラクタル集合上のGMC測度に対して、すべての順序の負のモーメントを確立できるか？
• RQ2 自己相似性を欠く、臨界確率的浸透のスペクトル標本のような集合におけるGMCの小質量尾部挙動を解析する際、スケーリング論法に代わる技術は何か？
• RQ3 $\sigma(\mathbb{D}) < \infty$ および $\mathcal{E}_d(\sigma) < \infty$ といった最小限の仮定のもとで、GMCに対して負のモーメントの存在を示せるか？
• RQ4 半平面におけるGFFの独立成分への分解を、GMC全質量の尾部挙動を制御するためにどのように応用できるか？

主な発見

• 任意のコンパクトな台を持つ有限Borel測度 $\sigma$ および $\mathcal{E}_d(\sigma) < \infty$ を満たすものに対して、GMC測度 $\mu_{\gamma h}^\sigma$ の全質量は、$\sigma$ がスケーリング性を持たない場合でさえ、すべての順序の負のモーメントを持つ。
• 証明により、$\mathbb{E}[\exp(-t \mu_{\gamma h}^\sigma)] \leq K t^{-\eta}$ を満たす $K > 0$ が存在し、すべての $t > 0$ に対して成り立つことが示され、すべての順序の負のモーメントの存在が保証される。
• 主な技術的進歩は、自己相似性に依存しないGFFの半平面における独立成分への分解であり、これにより自己相似性の仮定なしにGMC質量を制御できる。
• 非原子的かつ有限全質量を持つ $\sigma$ を用いて、$4\sigma(H^\pm_\zeta \cap \mathbb{D}) > \sigma(\mathbb{D})$ を満たす半平面 $H$ と $\zeta > 0$ が存在することを証明した。
• 調和的部 $h_{\partial H}$ がコンパクト部分集合 $H^\pm_\zeta$ 上で有限な指数モーメントを持つことが示され、尾部挙動のバウンドに不可欠である。
• 本結果は、自己相似性を欠くランダムなフラクタル集合、例えば臨界確率的浸透のスペクトル標本など、一般のフラクタル集合上でのGMC測度にも適用可能である。