[論文レビュー] Nested Sequents

Kai Brünnler|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、標準的なフレーム条件を満たすすべての正規モーダル論理に対して、自然なモーダル言語で切断除去と部分論理式性を備えた体系的な証明理論的枠組みとしてネストドシーケントを導入する。すべての正規モーダル論理（系列性、反射性、対称性、推移性、ユークリッド性）に対してネストドシーケント体系を提示し、健全性、完全性、証明探索の停止性を確立する。また、共通知識の論理に対しては、構文的切断除去と証明長の上限を可能にする新しい無限大ネストドシーケント体系へとそのアプローチを拡張する。

ABSTRACT

We see how nested sequents, a natural generalisation of hypersequents, allow us to develop a systematic proof theory for modal logics. As opposed to other prominent formalisms, such as the display calculus and labelled sequents, nested sequents stay inside the modal language and allow for proof systems which enjoy the subformula property in the literal sense. In the first part we study a systematic set of nested sequent systems for all normal modal logics formed by some combination of the axioms for seriality, reflexivity, symmetry, transitivity and euclideanness. We establish soundness and completeness and some of their good properties, such as invertibility of all rules, admissibility of the structural rules, termination of proof-search, as well as syntactic cut-elimination. In the second part we study the logic of common knowledge, a modal logic with a fixpoint modality. We look at two infinitary proof systems for this logic: an existing one based on ordinary sequents, for which no syntactic cut-elimination procedure is known, and a new one based on nested sequents. We see how nested sequents, in contrast to ordinary sequents, allow for syntactic cut-elimination and thus allow us to obtain an ordinal upper bound on the length of proofs.

研究の動機と目的

• 表示計算やラベルといった外部形式的枠組みを必要とせず、ネストドシーケントを用いて正規モーダル論理の体系的証明理論を構築すること。
• ネストドシーケント体系に対して健全性、完全性、および重要な証明理論的性質（規則の可逆性、構造規則の許容性、証明探索の停止性）を確立すること。
• 従来の無限大シーケント体系では未知であった共通知識の論理における構文的切断除去の欠如を補うために、新しいネストドシーケント形式を導入すること。
• ネストドシーケント枠組みにおける構文的切断除去を用いて、共通知識の論理における証明長に対する順序数の上界を提供すること。

提案手法

• ハイパーシーケントを一般化して、複数のレベルのシーケント構造を許容するネストドシーケントを導入し、モーダル言語を保ちながら直接的な証明構築を可能にする。
• 対応するモーダル論理の公理に基づき、系列性、反射性、対称性、推移性、ユークリッド性の各フレーム条件の組み合わせごとに、一様なネストドシーケント規則の族を設計する。
• ネストドシーケント枠組み内において、すべての推論規則の可逆性と構造規則（拡張、収縮など）の許容性を証明する。
• 共通知識の論理のための無限大ネストドシーケント体系を構築し、不動点モダリティを組み込み、構文的切断除去を可能にする。
• 切断除去の結果を用いて、共通知識の論理における証明長に対する順序数の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネストドシーケントは、標準的なフレーム条件を満たすすべての正規モーダル論理に対して、一貫的かつ体系的な証明理論的枠組みを提供できるか？
• RQ2 ネストドシーケント体系におけるモーダル論理は、ラベルや表示計算の拡張を必要とせずに、文脈的に部分論理式性を満たすか？
• RQ3 共通知識の論理のための無限大ネストドシーケント体系において、構文的切断除去が可能か？（従来のシーケント体系では未解決のままだった。）
• RQ4 共通知識の論理のためのネストドシーケント体系における切断除去手続きは、証明長に対する順序数の上界を導けるか？

主な発見

• 系列性、反射性、対称性、推移性、ユークリッド性から構成されるすべての正規モーダル論理に対するネストドシーケント体系は、健全かつ完全である。
• ネストドシーケント体系におけるすべての推論規則は可逆であり、構造規則は許容的であるため、効果的な証明探索手続きが可能である。
• 部分論理式性とネスト構造を超える構造的複雑性の欠如により、ネストドシーケント体系における証明探索は停止する。
• 共通知識の論理のためのネストドシーケント体系は、構文的切断除去を可能にし、従来の通常のシーケント体系では未知であった。
• 共通知識の論理のためのネストドシーケント体系における切断除去の結果により、証明長に対する順序数の上界が得られ、証明の複雑さの尺度が提供される。