[論文レビュー] Nevanlinna representations in several variables

Jim Agler, Ryan Tully‐Doyle+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、上半平面における虚部が非負である関数のネヴァンリンナの古典的積分表現定理を、複素数変数に一般化する。ポリ上半平面におけるローヴァークラス関数に対して、稠密に定義された自己共役作用素と正の収縮作用素を用いた4種類のネヴァンリンナ型表現を導入し、各表現タイプが成り立つための必要十分な漸近的成長条件を確立する。

ABSTRACT

We generalize two integral representation formulae of Nevanlinna to functions of several variables. We show that for a large class of analytic functions that have non-negative imaginary part on the upper polyhalfplane there are representation formulae in terms of densely defined self-adjoint operators on a Hilbert space. We introduce three types of structured resolvent of a self-adjoint operator and identify four different types of representation in terms of these resolvents. We relate the types of representation that a function admits to its growth at infinity.

研究の動機と目的

• ピッククラス関数のためのネヴァンリンナの古典的積分表現定理を、多変数設定に拡張すること。
• 解析関数がポリ上半平面で虚部が非負である場合の、4種類の明確に区別されるネヴァンリンナ型表現を定義し、特徴づけること。
• 関数論的条件、特に無限遠点における漸近的成長条件が、各4種類の表現を許容するための必要十分条件となること。
• 自己共役作用素と正の収縮作用素の和が恒等作用素に等しいような、構造化されたリゾルベント作用素との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 作用素 $ A $ が稠密に定義された自己共役作用素であり、$ Y_j $ が和が1に等しい正の収縮作用素であり、$ v \in \mathcal{H} $ であるとき、$ h(z_1,\dots,z_n) = \langle (A - z_1Y_1 - \cdots - z_nY_n)^{-1}v, v \rangle_{\mathcal{H}} $ による多変数コーシー変換の類似を提案する。
• 関数 $ h $ が一般化されたピック条件 $ h(z) - \overline{h(w)} = \sum_{j=1}^n (z_j - \overline{w_j}) A_j(z,w) $ を満たし、$ A_j $ が半正定値であるとき、$ \Pi^n $ 上で正則な関数の集合としてローヴァークラス $ \mathcal{L}_n $ を定義する。
• 異なる作用素構造と定義域の仮定に基づき、4種類の明確に区別される表現タイプを導出する。特に、有界作用素と非有界作用素を含む表現の違いを明確にする。
• 関数が特定のタイプの表現を許容するための必要十分条件が、$ \mathcal{L}_n $ に属し、かつ無限遠点における特定の成長条件（例：$ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $）を満たすことであることを確立する。
• 差のリゾルベントに対する構造化されたリゾルベント恒等式を用いて、作用素論的恒等式を導出し、積分表現の構成を可能にする。
• 多角形上でのシュールクラスとピッククラスとの間の変換技術を適用し、古典的な2変数結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚部が非負である関数のためのネヴァンリンナの古典的積分表現の多変数版は何か？
• RQ2 作用素論的枠組みを用いて、複素数変数におけるコーシー変換はどのように一般化できるか？
• RQ3 関数が多変数におけるネヴァンリンナ型表現を許容するための必要十分な関数論的条件（特に無限遠点における成長条件）は何か？
• RQ4 4種類の異なるネヴァンリンナ表現タイプは、作用素構造と定義域の仮定においてどのように異なるか？
• RQ5 古典的なリゾルベント恒等式を多変数設定に一般化する構造化されたリゾルベント恒等式は導出可能か？

主な発見

• 関数 $ h $ が $ \Pi^n $ 上で定義され、$ h(z) = \langle (A - z_1Y_1 - \cdots - z_nY_n)^{-1}v, v \rangle_{\mathcal{H}} $ の形に表現可能であるための必要十分条件は、$ h \in \mathcal{L}_n $ かつ $ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $ であることであり、これはネヴァンリンナの1変数結果の一般化である。
• 4種類のネヴァンリンナ表現は、作用素の定義域条件と無限遠点における成長挙動の異なる組み合わせによって完全に特徴づけられており、それぞれが異なるクラスの構造化されたリゾルベント作用素に対応する。
• ローヴァークラス $ \mathcal{L}_n $ は、ピッククラス $ \mathcal{P} $ の自然な多変数版であることが示され、一般化されたピック条件 $ h(z) - \overline{h(w)} = \sum_{j=1}^n (z_j - \overline{w_j}) A_j(z,w) $ が $ \mathcal{L}_n $ に属することと同値である。
• 本稿では、多変数設定におけるコーシー型表現が存在するための成長条件 $ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $ が、必要かつ十分であることが確立された。
• 構造化されたリゾルベント恒等式が導出され、$ (A - z_Y)^{-1} - (A - w_Y)^{-1} = (A - z_Y)^{-1}(z - w)_Y(A - w_Y)^{-1} $ のような、古典的リゾルベント恒等式の一般化が得られた。
• 本稿では、任意のこのような表現に対して、ある $ C > 0 $ が存在し、関数 $ h $ が点ごとの推定 $ |h(z)| \leq C\left(1 + \|z\|_1 + \frac{1 + \|z\|_1^2}{\min_j \operatorname{Im} z_j}\right) $ を満たすことが証明された。これは多項式的成長制御を確認するものである。