[論文レビュー] New action for the Hilbert-Einstein equations

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|ArXiv.org|Jun 25, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、4次元時空を10次元ユークリッド空間に埋め込み、1形式を完全な共変ベクトル場に拡張することで、ヒルベルト＝アインシュタイン方程式のための新しい作用原理を提案する。補助の反対称テンソル場 $ B^{\mu\nu,A} $ を導入することにより、変分方程式に余分な微分が生じない標準的なアインシュタイン方程式が得られ、物理的内容を保ちつつ数学的構造を変更する幾何学的再定式化が可能になる。

ABSTRACT

The Hilbert-Einstein equations are derived in the formalism employing the imbedding of the space-time into linear 10-dimensional space. An extra antisymmetric tensor field is needed for this task.

研究の動機と目的

• 時空を10次元ユークリッド空間に埋め込むことでアインシュタインの重力理論を再定式化すること。
• レッジ＝タイベルボイムらの先行研究で見られるように、変分方程式に問題となる余分な微分を排除すること。
• 共変ベクトル場とBF型の補助場を含む幾何学的作用からヒルベルト＝アインシュタイン方程式を導出すること。
• 一般相対性理論の物理的内容を維持しながらその数学的表現を変更する新しい変分フレームワークを探索すること。
• ディラックとADMによるハミルトニアン形式と整合する基礎を築くこと。ただし、今後の研究に向けた未解決の課題として残っている。

提案手法

• 座標 $ f^A(x^\mu) $ を用いて4次元時空 $ M^4 $ を10次元ユークリッド空間 $ \mathbb{R}^{10} $ に埋め込む。これにより誘導計量 $ g_{\mu\nu} = \partial_\mu f^A \partial_\nu f^A $ が得られる。
• 埋め込まれた多様体の法線空間へ射影するための射影子 $ \Pi^{AB} = \delta^{AB} - g^{\lambda\sigma} f_\lambda^A f_\sigma^B $ を導入する。
• リーマンテンソルを $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} = \Pi^{AB}(f_{\mu\alpha}^A f_{\nu\beta}^B - f_{\nu\alpha}^A f_{\mu\beta}^B) $ として定義する。これは $ f^A $ の2階微分の2次形式である。
• ラグランジアン $ \mathcal{L} = \sqrt{g} R $ を用いる。ここで $ g $ と $ R $ は、反変ベクトル場 $ f^{\mu A} = g^{\mu\nu} f_\nu^A $ の関数として表現される。
• 積分可能性を強制するため、BF型項 $ \mathcal{L}_1 = B^{\mu\nu,A}(\partial_\mu f_\nu^A - \partial_\nu f_\mu^A) $ を用いて補助の反対称テンソル場 $ B^{\mu\nu,A} $ を導入する。
• 全作用に対して $ f^{\mu A} $ および $ B^{\mu\nu,A} $ で変分することで運動方程式を導出し、$ B $-場からの寄与を含むヒルベルト＝アインシュタイン方程式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分方程式に余分な微分が生じない10次元埋め込み形式の幾何的作用からヒルベルト＝アインシュタイン方程式を導出することは可能か？
• RQ2 補助の反対称テンソル場 $ B^{\mu\nu,A} $ の導入は、一般相対性理論の物理的内容を保ちつつ、運動方程式の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 射影子 $ \Pi^{AB} $ は、曲率表現における物理的でない項を排除し、共変性を保つために果たす役割は何か？
• RQ4 $ f^{\mu A} $ 場に基づく変分原理は、ディラックとADMによる一般相対性理論の標準的ハミルトニアン形式とどのように比較できるか？
• RQ5 運動方程式を満たした後、$ B $-場に残る自由度の物理的解釈は何か？

主な発見

• 曲率テンソル $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} $ は $ f^A $ の2階微分の2次形式として表現され、3階微分が相殺されることで、変分原理が適切に定義されることを保証する。
• $ \int \sqrt{g} R \, d^4x $ の作用の変分により、リッチテンソル $ R_{\alpha\mu} $ とスカラー曲率 $ R $ を含む運動方程式が得られ、$ B $-場に起因する追加項 $ T_{\alpha\mu} $ が生じる。
• 全系の運動方程式は、$ T_{\alpha\mu} $ が $ B $-場の発散によって駆動されるヒルベルト＝アインシュタイン方程式 $ R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2} g_{\alpha\mu} R + T_{\alpha\mu} = 0 $ に簡約される。
• 射影子 $ \Pi^{AB} $ は、座標変換に起因する物理的でない項が消えることを保証し、微分同相変換下での共変性を維持する。
• 方程式を解いた後も、$ \Pi^{AB} \partial_\mu B^{\mu\nu,B} = 0 $ という条件が残り、$ \partial_\mu B^{\mu\nu,B} $ の接線成分のみが力学的自由度として残ることが示される。
• BF型項を用いて $ f_\mu^A $ の積分可能性を強制することで、レッジ＝タイベルボイムの手法で見られたような、余分な微分の問題を効果的に回避できた。