[論文レビュー] New bounds for automorphic L-functions

Gergely Harcos|ArXiv.org|May 21, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、解析的コンダクター C における √C 項での滑らかな切り捨てを伴う近似関数等式を導出し、自動形式 L 関数の新たな境界を確立する。Bessel 関数の推定を用いてパラメータに関して多項式的均一性を達成し、ハーディー＝リトルウッドの円周法を適用して、捩れた L 関数の部分凸境界を証明する。これは、デューク、フリードランダー、イワニエフの結果を拡張する。

ABSTRACT

This thesis contributes to the analytic theory of automorphic L-functions. We prove an approximate functional equation for the central value of the L-series attached to an irreducible cuspidal automorphic representation of GL(m) over a number field. We investigate the decay rate of the cutoff function and its derivatives in terms of the analytic conductor introduced by Iwaniec and Sarnak. We also see that the truncation can be made uniformly explicit at the cost of an error term. The results extend to products of central values. We establish, via the Hardy-Littlewood circle method, a nontrivial bound on shifted convolution sums of Fourier coefficients coming from classical holomorphic or Maass cusp forms of arbitrary level and nebentypus. These sums are analogous to the binary additive divisor sum which has been studied extensively. We achieve polynomial uniformity in all the parameters of the cusp forms by carefully estimating the Bessel functions that enter the analysis. As an application we derive, extending work of Duke, Friedlander and Iwaniec, a subconvex estimate on the critical line for L-functions associated to character twists of these cusp forms. We also study the shifted convolution sums via the Sarnak-Selberg spectral method. For holomorphic cusp forms this approach detects optimal cancellation over any totally real number field. For Maass cusp forms the method is burdened with complicated integral transforms. We succeed in inverting the simplest of these transforms whose kernel is built up of Gauss hypergeometric functions.

研究の動機と目的

• 数体上の GL_m における、非可約正則離散的自動形式表現の中心 L 値に対して、鋭く均一な境界を確立すること。
• 任意のレベルおよびネーベンティプスを持つ正則型およびマース形式のキャラクター捩りの部分凸推定を拡張すること。
• すべてのパラメータに関して多項式的均一性を持つように、フーリエ係数のシフトされた畠み込み和を扱うための手法を開発すること。
• 特に正則型およびマース形式の文脈において、サルナック–セルバーグのスペクトル法がシフトされた畠み込み和にどのように作用するかを調査すること。
• マース形式の場合に生じる、ガウス超幾何関数を含む積分変換を逆転させることで、明示的解析を可能にすること。

提案手法

• 解析的コンダクター C における √C 項で切り捨てられたディリクレ級数に対して、滑らかな切り捨て関数とその導関数を慎重に分析することで、L(s, π) および L(s, π̃) の近似関数等式を導出する。
• 正則型形式のフーリエ係数のシフトされた畠み込み和に対して、ハーディー＝リトルウッドの円周法を適用し、二項加法的除数問題に類似した扱い方をする。
• レベル、ネーベンティプス、およびスペクトルパラメータに関して、多項式的均一性を達成するために、Bessel 関数の精密な推定を用いる。
• L 関数の関数等式と複素平面上の線分積分を用い、Re(s) = -σ/2 - ε にシフトすることで極を分離し、超幾何関数を有界化する。
• ガウス超幾何関数 F(a,b;c;z) を含む積分変換を、最も単純な場合に逆転させ、スターリングの公式と Γ 関数の漸近挙動を活用する。
• ラングランズパラメータに関する Luo–Rudnick–Sarnak の均一な境界を用いて、臨界帯における成長と減衰を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自動形式 L 関数の中心 L 値の近似関数等式における最適な切り捨て長さは何か？ そして誤差を一様に有界に保つにはどうすればよいか？
• RQ2 正則型形式のフーリエ係数のシフトされた畠み込み和は、レベル、ネーベンティプス、およびスペクトルパラメータに関して多項式的均一性で有界化できるか？
• RQ3 特に臨界線上で、ディリクレ文字で捩られた L 関数に対して、どのような部分凸境界を確立できるか？
• RQ4 サルナック–セルバーグのスペクトル法は、任意の完全実数体上の正則型正則形式のシフトされた畠み込み和において、最適なキャンセレーションをどの程度検出できるか？
• RQ5 マース形式の場合に生じる積分変換は、核にガウス超幾何関数を含む場合に逆転可能か？

主な発見

• 解析的コンダクター C における √C 項での切り捨てを伴う近似関数等式が確立され、滑らかな切り捨てと導関数の減衰により誤差が一様に有界であることが示された。
• 正則型形式のフーリエ係数のシフトされた畠み込み和が、精密な Bessel 関数の推定を用いて、レベル、ネーベンティプス、およびスペクトルパラメータに関して多項式的均一性で有界化された。
• ディリクレ文字で捩られた L 関数に対して部分凸境界が証明され、以前の結果を改善し、デューク、フリードランダー、イワニエフの研究を拡張した。
• 正則型正則形式に対して、サルナック–セルバーグのスペクトル法は、任意の完全実数体上で最適なキャンセレーションを検出する。
• 核がガウス超幾何関数から構成される積分変換は、最も単純な場合に成功裏に逆転され、マース形式の場合の明示的解析が可能になった。
• 最終的な超幾何関数の境界が O(|s|^{1/2 + ε}) であることが示され、線分積分とスターリングの公式を用いることで、必要な部分凸推定が得られた。