[論文レビュー] New bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned variational data assimilation problem

Jemima M. Tabeart, Sarah L. Dance+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 40被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、事前条件付き変分データ同調におけるヘッセ行列の条件数に関する新しい解析的境界を導出し、観測誤差共分散（OEC）行列の最小固有値が条件数に顕著に影響することを示している。数値実験の結果、バックグラウンドと観測の長尺度が等しいときにヘッセ行列の条件数が最小化され、固有値のクラスタリングが、条件数のみから予測されるよりも高速な共役勾配法の収束をもたらすことが明らかになった。

ABSTRACT

Data assimilation algorithms combine prior and observational information, weighted by their respective uncertainties, to obtain the most likely posterior of a dynamical system. In variational data assimilation the posterior is computed by solving a nonlinear least squares problem. Many numerical weather prediction (NWP) centres use full observation error covariance (OEC) weighting matrices, which can slow convergence of the data assimilation procedure. Previous work revealed the importance of the minimum eigenvalue of the OEC matrix for conditioning and convergence of the unpreconditioned data assimilation problem. In this paper we examine the use of correlated OEC matrices in the preconditioned data assimilation problem for the first time. We consider the case where there are more state variables than observations, which is typical for applications with sparse measurements e.g. NWP and remote sensing. We find that similarly to the unpreconditioned problem, the minimum eigenvalue of the OEC matrix appears in new bounds on the condition number of the Hessian of the preconditioned objective function. Numerical experiments reveal that the condition number of the Hessian is minimised when the background and observation lengthscales are equal. This contrasts with the unpreconditioned case, where decreasing the observation error lengthscale always improves conditioning. Conjugate gradient experiments show that in this framework the condition number of the Hessian is a good proxy for convergence. Eigenvalue clustering explains cases where convergence is faster than expected.

研究の動機と目的

• 相関する観測誤差共分散（OEC）行列を有する事前条件付き変分データ同調におけるヘッセ行列の条件付けを分析すること。
• OEC行列の最小固有値に依存するヘッセ行列の条件数に関する新しい理論的境界を導出すること。
• バックグラウンドおよび観測誤差共分散構造が、事前条件付き4D-Varシステムにおける収束に与える影響を調査すること。
• このフレームワークにおいて、ヘッセ行列の条件数が共役勾配法の収束を信頼できる代理指標として機能するかどうかを評価すること。
• ヘッセ行列の固有値クラスタリングが、条件付けのみから予測されるものよりも収束速度に与える影響を調査すること。

提案手法

• バックグラウンドおよび観測誤差共分散行列の性質を用いて、線形化された事前条件付き目的関数のヘッセ行列の条件数に関する解析的境界を導出する。
• 行列摂動理論およびスペクトル解析を適用し、ヘッセ行列の条件数をOEC行列の最小固有値と関連付ける。
• 制御変数変換（CVT）を用いた4D-Varフレームワークを採用し、バックグラウンド誤差共分散行列を暗黙的にモデル化する。
• 巡回構造を有するバックグラウンドおよびOEC行列を用いた数値実験により、理論的境界および収束特性を検証する。
• 共役勾配法を実装し、ヘッセ行列の条件数および固有値分布と照らし合わせて収束速度を評価する。
• バックグラウンドおよび観測誤差の異なる長尺度を比較し、最適な設定を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測誤差共分散行列の最小固有値は、事前条件付き変分データ同調問題におけるヘッセ行列の条件数にどのように影響するか？
• RQ2 数値実験で観察されたように、バックグラウンドと観測誤差の長尺度を一致させることで、事前条件付き設定においてヘッセ行列の条件数が最小化されるか？
• RQ3 ヘッセ行列の条件数が、事前条件付きデータ同調における共役勾配法の収束をどれほど信頼できる予測指標として機能するか？
• RQ4 ヘッセ行列における固有値クラスタリングは、条件付けのみから予測されるものよりも、収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 OEC行列の再条件付け技術は、非事前条件付き状態と比較して、事前条件付きフレームワークにおけるヘッセ行列の条件数にどのように影響するか？

主な発見

• 観測誤差共分散行列の最小固有値が、事前条件付き変分データ同調問題におけるヘッセ行列の条件数に関する新しい解析的境界に現れる。
• バックグラウンドと観測誤差の長尺度が等しいとき、ヘッセ行列の条件数が最小化される。これは、非事前条件付き状態では観測誤差の長尺度を小さくすることで常に条件付けが改善されるのとは対照的である。
• 共役勾配法の収束はヘッセ行列の条件数によってよく予測されるが、固有値がクラスタリングしている場合には、条件数が最適でない場合でも収束が速くなる。
• 構造化された観測演算子および補完的共分散行列構造によって引き起こされる固有値クラスタリングは、予測を上回る高速な収束をもたらすことがある。
• OEC行列の小さな固有値を増大させる再条件付け技術は、バックグラウンド誤差共分散との乗法的結合のため、事前条件付き設定ではヘッセ行列の条件数を低下させないことがある。
• 理論的境界は、バックグラウンドおよび観測誤差共分散行列および線形観測演算子の任意の選択に一般化可能であるが、数値結果は、均一で等間隔の状態変数を有する巡回構造行列に基づいている。