[論文レビュー] New classes of $C^1$ robustly transitive maps with persistent critical points

Cristina Lizana, Wagner Ranter|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2次元トーラスおよびクラインのボーラー上で、非全射の微分を伴うにもかかわらず、$C^1$-安定なトランジティブ性を示す新たなクラスの終態写像を構成する。この構成は、拡大線形写像の変形に基づく「ブレーダー」——非全射の微分を持つ場合でも安定なトランジティブ性を保証する力学的機構——を用いる。主な結果は、$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす固有値をもつ線形終態写像のホモトピー類において、このような写像が存在することを示し、従来の研究における空白を埋め、かつ以前の構成における誤りを是正することにある。

ABSTRACT

We exhibit a new large class of $C^1$ open examples of robustly transitive maps displaying persistent critical points in the homotopy class of expanding endomorphisms acting on the two dimensional Torus and the Klein bottle.

研究の動機と目的

• 2次元トーラスおよびクラインのボーラー上で、持続的臨界点を有する新たな$C^1$-安定なトランジティブな終態写像を構成すること。
• [7]における以前の構成の欠陥を是正すること。特に、臨界写像下での像の内部に関する誤った仮定が、安定なトランジティブ性の議論に失敗した原因である。
• 臨界点が存在する場合でも、$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす線形終態写像のホモトピー類において、安定なトランジティブ性が達成可能であることを確立すること。
• 拡大写像の制御された変形により「ブレーダー」構造を構成し、小規模な$C^1$-摂動に対してもトランジティブ性が保たれることを示すこと。

提案手法

• 固有値が$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす拡大線形終態写像$L$を、弱い方向を$C^0$-小かつ$C^1$-大な摂動で変形し、小さなボックス$B$内に「ブレーダー」を生成する。
• 写像族$F_{s,t} = \Theta_s \circ F_t$を構成し、ここで$\Theta_s$は弱い方向を収縮させるとともに不安定な錐体場を保つ。これによりブレーダー構造が維持される。
• 強い不安定な葉層が最小的であること、および任意の不安定な弧の繰り返し写像が小規模な摂動に対してもブレーダー領域を横切ることを確認することで、ブレーダーの安定性を保証する。
• ブレーダー領域から遠く離れた場所に人工的臨界点を導入し、$C^1$-摂動に対してもその持続性を保証するとともに、ブレーダー力学に影響を与えないようにする。
• 錐体場$C_\alpha$を用い、近傍のすべての写像がこれを保存し、かつすべてのベクトルが$\|DG(v)\| \geq \lambda' > 1$ のように一様に拡大することを確認することで、双曲性および安定なトランジティブ性を保証する。
• すべての不安定な弧が最終的にブレーダー領域を横切り、双曲的固定点の局所的安定集合と交差することを示すことにより、安定なトランジティブ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー類に属する線形終態写像で$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす場合に、持続的臨界点を有する$C^1$-安定なトランジティブな終態写像を構成可能か？
• RQ2 クラインのボーラーは、持続的臨界点を有する$C^1$-安定なトランジティブな終態写像を許容するか？
• RQ3 [7]における誤った構成——$1 < |\mu| < |\lambda|$ を満たす線形写像にホモトープな写像に対して安定なトランジティブ性を主張したもの——は是正可能で妥当か？
• RQ4 臨界点の存在により開集合の像が空集合の内部を持つことがない場合、どのような力学的機構が安定なトランジティブ性を保証するか？
• RQ5 拡大写像の$C^1$-摂動において、「ブレーダー」をどのように構成すれば、臨界点が存在する場合でもトランジティブ性が保たれるか？

主な発見

• 著者らは、2次元トーラスおよびクラインのボーラー上で、持続的臨界点を有する$C^1$-安定なトランジティブな終態写像を構成し、$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす線形終態写像のホモトピー類にこのような写像が存在することを確認した。
• [7]における欠陥を是正するため、誤った仮定（開集合の像が内部を有する）に依存するのではなく、適切なブレーダー機構を用いることで、正しく構成された。
• 拡大線形写像の$C^0$-小かつ$C^1$-大な変形により、「ブレーダー」が成功裏に生成され、非全射の微分を持つ場合でも安定なトランジティブ性が保証された。
• すべての不安定な弧が最終的にブレーダー領域を横切り、双曲的固定点の局所的安定集合と交差することを保証することで、安定なトランジティブ性が達成された。
• 有理および無理数固有値の両方のケースに本手法が適用可能であり、無理数固有値の場合はブレーダーおよびトランジティブ性の性質を保つために構成をわずかに調整する必要があるにとどまる。
• 結果として、$1 < |\mu| \ll |\lambda|$ を満たす拡大終態写像のホモトピー類において、臨界点が存在する場合でも$C^1$-安定なトランジティブ性が達成可能であることが確認された。