[論文レビュー] New Deterministic Approximation Algorithms for Fully Dynamic Matching

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、完全動的グラフにおける最大マッチング問題に対する2つの決定的動的アルゴリズムを提示する。最初のアルゴリズムは、一般のグラフにおいて$(2+\epsilon)$-近似マッチングを$O(\operatorname{poly}(\log n, 1/\epsilon))$の更新時間で維持し、$o(\log n)$-近似に対する最初の多項対数時間更新を達成する。2番目のアルゴリズムは、任意の定数$K$に対して二部グラフで$\alpha_K$-近似を$O(n^{2/K})$の更新時間で達成し、2未満の近似をサブ多項式更新時間で実現する。

ABSTRACT

We present two deterministic dynamic algorithms for the maximum matching problem. (1) An algorithm that maintains a $(2+ε)$-approximate maximum matching in general graphs with $O( ext{poly}(\log n, 1/ε))$ update time. (2) An algorithm that maintains an $α_K$ approximation of the {\em value} of the maximum matching with $O(n^{2/K})$ update time in bipartite graphs, for every sufficiently large constant positive integer $K$. Here, $1\leq α_K < 2$ is a constant determined by the value of $K$. Result (1) is the first deterministic algorithm that can maintain an $o(\log n)$-approximate maximum matching with polylogarithmic update time, improving the seminal result of Onak et al. [STOC 2010]. Its approximation guarantee almost matches the guarantee of the best {\em randomized} polylogarithmic update time algorithm [Baswana et al. FOCS 2011]. Result (2) achieves a better-than-two approximation with {\em arbitrarily small polynomial} update time on bipartite graphs. Previously the best update time for this problem was $O(m^{1/4})$ [Bernstein et al. ICALP 2015], where $m$ is the current number of edges in the graph.

研究の動機と目的

• 一般のグラフにおいて、高品質な近似最大マッチングを効率的な更新時間で維持する決定的動的アルゴリズムの設計。
• 従来の確率的アルゴリズムの制限を克服し、決定的に多項対数時間更新を達成すること。
• 特に2未満の近似を達成する際のサブ多項式更新時間を維持しながら、二部グラフにおける近似保証を向上させること。
• 動的環境において、構造的なスケルトンとメタグラフを通じて近似マッチングを維持するフレームワークの提供。
• エッジ数に依存しない、グラフサイズおよび近似精度のスケーリングに適した、均等化された更新時間の境界を達成すること。

提案手法

• 一般グラフ用のアルゴリズムは、次数分割手順を用い、更新時間と近似誤差を制限するための近似スケルトンを維持する。
• ノード次数とエッジ関係を追跡するための、重要なおよびラミナ構造を維持し、フェーズベースの再構築メカニズムにより効率的な更新を実現する。
• 二部グラフの場合、残差エッジとノード容量を伴う階層的レベル構造を導入し、分数マッチング定式化を可能にする。
• 各レベルでメタグラフを構築し、各ノードをその残差容量に応じて複製することで、分数$b$-マッチングを模倣する。
• メタグラフ上で動的分数マッチングアルゴリズムを適用し、残差マッチングサイズに対する$(1+\epsilon)^2$-近似を維持する。
• 均等化解析を用いて、潜在関数を追跡し、高コストの再構築操作の頻度を制御することで、総更新コストの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフにおいて、多項対数時間更新で$(2+\epsilon)$-近似最大マッチングを維持できる決定的アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 サブ多項式更新時間で2未満の近似を達成できる二部グラフにおけるアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 近似と更新時間の保証を両立するため、動的スケルトンを効率的に維持する方法は何か？
• RQ4 階層的構造を用いた二部グラフにおける近似比と更新時間のトレードオフは何か？
• RQ5 メタグラフを用いて分数マッチングを模倣し、近似解の効率的な動的維持を可能にすることができるか？

主な発見

• 本稿は、一般のグラフにおいて、$O(\operatorname{poly}(\log n, 1/\epsilon))$の均等化更新時間で$(2+\epsilon)$-近似最大マッチングを維持する、最初の決定的アルゴリズムを提示する。
• 二部グラフでは、任意の定数$K$に対して$\alpha_K$-近似を$O(n^{2/K})$の更新時間で達成し、$\alpha_K < 2$となる。
• メタグラフの維持と組み合わせた場合、二部グラフ用のアルゴリズムの更新時間は$O(n^{1/K} \cdot \log n)$に改善され、以前の$O(m^{1/4})$の境界を上回る。
• 本手法は、分数$b$-マッチングを模倣し、残差マッチングに対する$(1+\epsilon)^2$-近似を可能にする、革新的なメタグラフ構築法を用いる。
• 再構築構造のコストを制御する潜在関数の議論により、均等化更新時間が上限で制限される。
• フレームワークは、最良の確率的アルゴリズムとほぼ同等の近似保証を達成するが、決定的保証を備える。