[論文レビュー] New DNA Cyclic Codes over Rings

Nabil Bennenni, Kenza Guenda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

DNA and Biological Computing参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限環上のDNA巡回およびスケュー巡回符号の2つの新しい族を導入する。1つは $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 上にあり、環の要素と64種類のコドンの間の一対一対応を確立することで、編集距離の拡張と二進準巡回符号へのグレイ写像を可能にする。もう1つは $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 上にあり、$ v^2 = v $ を満たし、逆補数性を保持するように設計されている。主な貢献は、環に基づく代数的符号理論を用いて、誤り耐性を向上させるとともに構造的利点を有するDNA符号の構築である。

ABSTRACT

This paper is dealing with DNA cyclic codes which play an important role in DNA computing and have attracted a particular attention in the literature. Firstly, we introduce a new family of DNA cyclic codes over the ring $R=\mathbb{F}_2[u]/(u^6)$. Such codes have theoretical advantages as well as several applications in DNA computing. A direct link between the elements of such a ring and the $64$ codons used in the amino acids of the living organisms is established. Such a correspondence allows us to extend the notion of the edit distance to the ring $R$ which is useful for the correction of the insertion, deletion and substitution errors. Next, we define the Lee weight, the Gray map over the ring $R$ as well as the binary image of the cyclic DNA codes allowing the transfer of studying DNA codes into studying binary codes. Secondly, we introduce another new family of DNA skew cyclic codes constructed over the ring $ ilde {R}=\mathbb{F}_2+v\mathbb{F}_2=\{0,1,v,v+1\}$ where $v^2=v$ and study their property of being reverse-complement. We show that the obtained code is derived from the cyclic reverse-complement code over the ring $ ilde {R}$. We shall provide the binary images and present some explicit examples of such codes.

研究の動機と目的

• 環 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 上に64要素を持つDNA巡回符号を構築し、コドンをモデル化し、誤り訂正を向上させる。
• 環の要素とアミノ酸翻訳に用いられる64種類のコドンとの間の一対一対応を確立する。
• 環 $ R $ 上にリー重みとグレイ写像を定義し、DNA符号の解析を二進準巡回符号に移行可能にする。
• $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 上にスケュー巡回DNA符号を構築し、逆補数性を保証する。
• これらの符号の明示的構成と二進画像を提供し、DNAコンピューティングおよび誤り訂正における実用性を示す。

提案手法

• 環 $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ の要素と、A、G、C、Tの3つの組み合わせである64通りのコドンとの間の双対写像を確立する。
• 環要素の2進表現のハミング重みに基づいて、$ R $ 上にリー重みを定義する。
• 各環要素を6ビットの2進ベクトルに写像するグレイ写像 $ \varphi: R \to \mathbb{F}_2^6 $ を導入し、符号構造を保持する。
• 巡回DNA符号を、$ R[x]/(x^n - 1) $ の商環におけるイデアルとして構築し、$ x^n - 1 $ の因数分解を活用する。
• $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 上に、自己準同型 $ \theta $ を用いたスケュー多項式環を用いてスケュー巡回符号を定義する。ここで $ \theta(v) = v $ である。
• DNAヌクレオチドを2進ペアに写像する二進画像写像 $ \psi $ を用い、G→(0,0)、A→(1,1)、T→(0,1)、C→(1,0) として、二進符号表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環の要素とコドンとの間の一対一対応をどのように確立すれば、DNA符号の構築を支援できるか？
• RQ2 編集距離の概念を、$ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ 上の符号へ拡張することは可能か？これによりDNAコンピューティングにおける誤り訂正が向上するか？
• RQ3 $ R $ 上の巡回DNA符号の構造は何か？その二進画像はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 逆補数性を保持するように、$ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 上のスケュー巡回DNA符号をどのように構築できるか？
• RQ5 スケュー巡回符号が $ \tilde{R} $ 上で逆補数閉じているための条件は何か？

主な発見

• 64要素からなる $ R = \mathbb{F}_2[u]/(u^6) $ の要素と64種類のコドンとの間の一対一対応が確立され、遺伝子配列の直接的な代数的モデリングが可能になった。
• 編集距離が $ R $ 上の符号へ拡張され、ハミング距離や削除距離とは異なり、挿入・削除・置換誤りの両方を訂正可能となった。
• グレイ写像 $ \varphi $ により、$ R $ 上の巡回DNA符号は、インデックス6、長さ $ 6n $ の二進準巡回符号に写像され、符号構造が保持され、二進解析が可能となった。
• $ \tilde{R} = \mathbb{F}_2 + v\mathbb{F}_2 $ 上のスケュー巡回DNA符号は、生成多項式が自己双対的であり、かつ $ v(x^n - 1)/(x - 1) \in \mathcal{C} $ である限り、逆補数閉じている。
• $ \tilde{R} $ 上のスケュー巡回符号の二進画像は、長さ $ 2n $、インデックス2のスケュー準巡回符号となり、距離と線形性が保持された。
• 逆補数性を有する $[10,6,2]$ のスケュー巡回DNA符号の明示的例が提示され、構築法の実現可能性と構造的特徴が示された。