[論文レビュー] New families of Calabi-Yau 3-folds without maximal unipotent monodromy

Alice Garbagnati|arXiv (Cornell University)|May 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、複素乗法を持つ楕円曲線 $E_i$ と、位数4の非シンプレクティック自己同型をもつK3面の商をdesingularizationによって得る、5つの新しいCalabi–Yau 3-foldの族を構成する。ホッジ構造の変動は、元の曲線のそれによって支配され、2階のPicard–Fuchs方程式が得られるが、最大単調モノドロミーを示す解は存在せず、これは標準的な鏡像対称性の枠組みに挑戦する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct families of Calabi--Yau 3-folds without boundary points with maximal unipotent monodromy and to describe the variation of their Hodge structures. In particular five families are constructed. In all these cases the variation of the Hodge structures of the Calabi--Yau 3-folds is basically the variation of the Hodge structures of a family of curves. This allows us to write explicitly the Picard--Fuchs equation for the 1-dimensional families. These Calabi--Yau 3-folds are desingularizations of quotients of the product of a (fixed) elliptic curve and a K3 surface admitting an automorphisms of order 4 (with some particular properties). We show that these K3 surfaces admit an isotrivial elliptic fibration.

研究の動機と目的

• 最大単調モノドロミーを示さないCalabi–Yau 3-foldの族を、鏡像対称性の予想にとって不可欠であるため、構成すること。
• このような族におけるホッジ構造の変動、特にそれが関連する曲線族のそれへ還元される場合を記述すること。
• これらの構成における1次元族に対して、Picard–Fuchs方程式を明示的に計算すること。
• これらの方程式が最大単調モノドロミーを示す解をもたないことを示し、標準的な鏡像対称性の仮定に挑戦すること。

提案手法

• 複素乗法をもつ楕円曲線 $E_i$ と、正則1形式に作用する固有値が $i, -i$ である自己同型をもつ曲線 $C_{f_g}$ に対して、$S_{f_g}$ を $\bZ/4\bZ$-商として $E_i \times C_{f_g}$ から得る。
• 得られるK3面が等質な楕円ファイブレーションをもち、$\mathbb{P}^2$ への4:1被覆として実現可能であることを示し、代替的構成を可能にする。
• $E_i \times S / (\alpha_E^3 \times \alpha_S)$ のdesingularizationとしてCalabi–Yau 3-foldを構成する。ここで $\alpha_E$ と $\alpha_S$ はそれぞれ位数4の自己同型である。
• 関連する曲線 $C_{f_g}$ のホッジ構造の変動によって、Calabi–Yau 3-foldのホッジ構造の変動が完全に決定されることを証明する。
• 1次元族のPicard–Fuchs方程式を、元の曲線のPicard–Fuchs方程式に還元することで導出する。
• 自己同型 $\alpha_E \times 1_S$ が $H^{3,0}$ 上で乗法 $i$ として作用することを用い、Picard–Fuchs方程式に最大単調モノドロミーが存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数4の自己同型をもち、$E_i \times K3$ の商とdesingularizationによって、最大単調モノドロミーを示さない新しいCalabi–Yau 3-foldの族を構成できるか？
• RQ2 このようなCalabi–Yau 3-foldにおけるホッジ構造の変動は、元の曲線のそれとどのように関係するか？
• RQ3 これらの族のPicard–Fuchs方程式の明示的形は何か？ また、最大単調モノドロミーを示す解をもつか？
• RQ4 完全な分類がなくても、位数4の非シンプレクティック自己同型をもつK3面への構成を一般化できるか？
• RQ5 これらの族のPicard–Fuchs方程式が最大単調モノドロミーを示さない理由は何か？ そしてこれは鏡像対称性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 族 $Y_{f_2}$ はホッジ数 $h^{1,1} = 73$, $h^{2,1} = 1$ をもち、そのPicard–Fuchs方程式は2階であり、4階ではなく、最大単調モノドロミーを示さない。
• 族 $W_{b^2}$ はホッジ数 $h^{1,1} = 61$, $h^{2,1} = 1$ をもち、そのPicard–Fuchs方程式は楕円曲線由来であり、最大単調モノドロミーを示さない。
• $Y_{f_3}$ と $M$ のPicard–Fuchs方程式は、K3面 $S$ の構成に使われた曲線 $B$ 由来であり、両者とも最大単調モノドロミーを示す解をもたない。
• Calabi–Yau 3-fold $M$ はホッジ数 $h^{1,1} = 39$, $h^{2,1} = 3$ をもち、そのホッジ構造の変動は、一般型のK3面 $R$ の構成に使われた曲線 $B$ のみに依存する。
• 族 $Y_{SI}$ は点的族であり、$h^{1,1} = 90$, $h^{2,1} = 0$ をもち、そのK3面 $X_{SI}$ は10本の曲線を固定する非シンプレクティック対合をもつ唯一のものである。
• すべての族において最大単調モノドロミーが存在しないのは、$H^{3,0}$ 上で $i$ として作用する位数4の自己同型が存在するためであり、これによりモノドロミーが最大単調にはならない。