[論文レビュー] New Geometrical Approach to Superstrings

Alexander Belopolsky|ArXiv.org|Mar 26, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、微分形式および超多様体上の積分理論を用いて、スーパーストリング振幅のための新しい幾何的枠組みを導入し、一次の頂点演算子を必要とせずに、任意のバックグラウンドにおける多ループ振幅を直接計算可能にする。この手法により、明示的な積分を用いてドライヴン定理が証明され、特に一次の代表をもたない離散状態を通じて、ストリングバックグラウンドに隠れた奇数の対称性が明らかにされる。

ABSTRACT

We present a new geometrical approach to superstrings based on the geometrical theory of integration on supermanifolds. This approach provides an effective way to calculate multi-loop superstring amplitudes for arbitrary backgrounds. It makes possible to calculate amplitudes for the physical states defined as BRST cohomology classes using arbitrary representatives. Since the new formalism does not rely on the presence of primary representatives for the physical states it is particulary valuable for analyzing the discrete states for which no primary representatives are available. We show that the discrete states provide information about symmetries of the background including odd symmetries which mix Bose and Fermi states. The dilaton is an example of a non-discrete state which cannot be covariantly represented by a primary vertex. The new formalism allows to prove the dilaton theorem by a direct calculation.

研究の動機と目的

• 任意のバックグラウンドにおける多ループスーパーストリング振幅を計算するための幾何的形式主義の構築。
• 特に離散状態に対して、一次の頂点演算子の必要性を排除すること。
• ストリングバックグラウンドのグローバル対称性、特にボーズ状態とフェルミ状態を混合する奇数の対称性を特定するためのコhomological枠組みの提供。
• 超多様体上の積分を用いた、ドライヴン定理の直接的な幾何的証明。
• 微分形式理論を超多様体に一般化し、極およびピクチャ変換操作を含める。

提案手法

• 超多様体上の微分形式を、ターゲット空間における極を含むように拡張し、ピクチャ変換のような新しい操作を可能にする。
• 偶数および奇数の二つの次数を持つ、de Rham複体の超多様体版を導入し、ゴースト数を一般化する。
• ピクチャ変換作用素を用いて、異なる奇数次数の形式を関連づけ、スーパーストリングにおけるBRSTコホモロジーにおいて重要である。
• 幾何的積分理論を超コンフォーマル曲面に適用し、モジュライ空間における最高次形式による振幅の定義。
• 局所座標および超コンフォーマル場Φを用いてストリング振幅を表現し、ωχとωDの形式はdωχ = ωDによって関係づけられる。
• 奇数変数の積分後に、縮約空間にガウス・ボンネの定理を適用し、曲率形式および測地線形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次の頂点演算子に依存せずに、どのようにスーパーストリング振幅を計算できるか？
• RQ2 任意のバックグラウンドにおけるスーパーストリングのBRSTコホモロジーの背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 一次の代表をもたない離散状態は、バックグラウンドの対称性に関する情報をどのように符号化するか？
• RQ4 ドライヴン定理は、超多様体上の幾何的積分を用いて直接証明可能か？
• RQ5 ピクチャ変換作用素は、超多様体のde Rham複体において果たす役割は何か？

主な発見

• ドライヴン定理は幾何的積分を用いて直接証明され、振幅が曲率形式および測地線形式を通じてドライヴン場に依存することを示した。
• 奇数変数の積分後に、形式ωDは曲率2形式R(2) = ∂̄∂̄logρに対応する。
• 形式ωχは測地線曲率k = dφ + dz ∂logρ − d̄z ̄∂logρに変換され、位相φは境界の接ベクトルに結びつく。
• 座標変換w → w exp(iφ)におけるωχの位相依存性が非グローバルであることが示され、ωχがグローバルに定義されない理由が説明された。
• ωχとωDの積分の和がゼロになるのは、ωχがグローバルに定義されている場合に限るが、その位相依存性がこれを妨げ、非ゼロの振幅が保存されることを示した。
• 形式主義により、ボーズ状態とフェルミ状態を混合する奇数の対称性が明らかになり、離散状態がこのような対称性のプローブとして機能することが分かった。