[論文レビュー] New lower bounds for the maximal determinant problem

William P. Orrick, Bruce Solomon+2 more|ArXiv.org|Apr 25, 2003

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、数値最適化と新しい会議行列構成法を用いて、±1の成分をとる$n \times n$行列の最大行列式に対する新たな下界を提示する。$n = 22, 23, 27, \dots, 95$ において記録更新の行列式を得ており、その多くが理論的上限の80%以上に達している。$n=22$ については最適性を予想している。結果は www.indiana.edu/~maxdet にアーカイブされている。

ABSTRACT

We report new world records for the maximal determinant of an n-by-n matrix with entries +/-1. Using various techniques, we beat existing records for n=22, 23, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 39, 45, 47, 53, 63, 69, 73, 77, 79, 93, and 95, and we present the record-breaking matrices here. We conjecture that our n=22 value attains the globally maximizing determinant in its dimension. We also tabulate new records for n=67, 75, 83, 87, 91 and 99, dimensions for which no previous claims have been made. The relevant matrices in all these dimensions, along with other pertinent information, are posted at http://www.indiana.edu/~maxdet \.

研究の動機と目的

• ±1の成分をとる$n \times n$行列の最大行列式に対する改善された下界を確立すること。
• 特に$Hadamard$の上限が達成できない場合、すなわち$n \not\equiv 0 \pmod{4}$ のとき、$\mathrm{md}(n)$ の正確な値を求める長年の未解決問題に取り組むこと。
• 従来の記録を上回る新たな構成法と数値探索を提示し、複数の次元で記録を更新すること。
• www.indiana.edu/~maxdet で記録更新の行列とその行列式を包括的にアーカイブし、継続的な研究を支援すること。

提案手法

• 離散勾配上昇とシミュレーテッド・アニーリングを組み合わせた勾配上昇アルゴリズムを用い、±1行列の行列式値を反復的に改善する。
• 行ごとの最適化中に行列式推定値を効率的に更新するため、余因子展開を用いる。
• $n \equiv 15 \pmod{16}$ の場合に適した会議行列に基づく構成法を導入し、$n = 47, 63, 79, 95$ などを含む、多くの$n$ に対して高行列式の行列を生成する。
• 局所最適解から脱出するために、局所最適解をランダムに摺り返し、探索空間の新たな領域を探索する。
• Hadamard行列や先行研究からの優れた初期行列を用いて探索を開始する。
• Barba, Ehlich, および Wojtas から導かれる理論的上限と比較することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ が4で割り切れない場合、特に正確な値が不明な次元において、$\mathrm{md}(n)$ の最高の既知の下界は何か？
• RQ2 会議行列に基づく新たな構成法は、$n \equiv 15 \pmod{16}$ の特定の$n$ に対して、顕著に改善された行列式の下界をもたらすか？
• RQ3 新しい行列が、Barba, Ehlich, および Wojtas から導かれる理論的上限にどの程度近づいているか？
• RQ4 $n=22$ における行列式記録は、予想されるようにグローバルに最適であるか？
• RQ5 新しい行列を用いて、従来の記録を上回る超過を有するHadamard行列を構成できるか？

主な発見

• 本稿では、19の次元において$\mathrm{md}(n)$ の新たな下界を確立した：$n = 22, 23, 27, 29, 31, 33, 34, 35, 39, 45, 47, 53, 63, 69, 73, 77, 79, 93, 95$。その多くが理論的上限の80%以上に達している。
• $n=22$ において、行列式$2^{23} \times 5^{11}$ が最適であると予想されており、理論的上限の95%に達している。
• 会議行列に基づく構成法により、$n \equiv 15 \pmod{16}$ の場合に記録更新の行列式が得られ、$n=47, 63, 79, 95$ が含まれる。$n=95$ の行列では、$2^{96} \times 23^{36} \times 27^{11}$ の行列式が達成された。
• $n=73$ および $n=77$ の行列から1行1列を削除することで、超過580および628の$72 \times 72$ および $76 \times 76$ のHadamard行列が構成され、従来の記録を更新した。
• $n=67, 75, 83, 87, 91, 99$ に対しても、理論的上限の70%を超える最高の既知の下界が報告された。
• $n=22$ の行列式記録のみが、グローバルに最大であると予想されており、著者らはそれが理論的上限の95%に達していると指摘している。