[論文レビュー] New perspectives on output feedback stabilization at an unobservable target

Lucas Brivadis, Jean-Paul Gauthier+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非線形システムにおける観測不能な均衡点での動的出力フィードバック安定化のための、画期的な無限次元観測器フレームワークを提案する。システムを無限次元ユニタリ系に埋め込み、表現論を活用することで、観測不能性特異点を克服する散逸的誤差観測器を設計し、古典的手法が均衡点付近での観測不能性の喪失によって失敗する場合でも、グローバル安定化を可能にする。

ABSTRACT

We address the problem of dynamic output feedback stabilization at an unobservable target point. The challenge lies in according the antagonistic nature of the objective and the properties of the system: the system tends to be less observable as it approaches the target. We illustrate two main ideas: well chosen perturbations of a state feedback law can yield new observability properties of the closed-loop system, and embedding systems into bilinear systems admitting observers with dissipative error systems allows to mitigate the observability issues. We apply them on a case of systems with linear dynamics and nonlinear observation map and make use of an ad hoc finite-dimensional embedding. More generally, we introduce a new strategy based on infinite-dimensional unitary embeddings. To do so, we extend the usual definition of dynamic output feedback stabilization in order to allow infinite-dimensional observers fed by the output. We show how this technique, based on representation theory, may be applied to achieve output feedback stabilization at an unobservable target.

研究の動機と目的

• 非線形システムにおいて、均衡点付近で観測性が低下する観測不能なターゲット点への安定化という根本的課題に取り組む。
• 非線形システムにおける観測不能性特異点のため、古典的分離原理およびルエンバーガー観測器設計が失敗するのを克服する。
• 有限次元観測器を超えて無限次元状態空間にまで拡張可能な、動的出力フィードバック安定化のための新フレームワークを開発する。
• 無限次元観測器が、有限次元設定では安定化を妨げる位相的障害を回避できることを示す。
• 観測不能性があるにもかかわらず、散逸的誤差ダイナミクスおよびフィードバック摂動が漸近的安定性を保証する条件を確立する。

提案手法

• 元の非線形システムを、線形出力を持つ双線形系に無限次元ユニタリ埋め込みすることで、観測器設計を可能にする。
• 無限次元観測器を含む動的出力フィードバック安定化可能性の定義を修正し、より広範な適用可能性を実現する。
• ユニタリな時間発展作用素を構築するために表現論を活用し、システム構造を保存するとともに、観測器合成を可能にする。
• 誤差ダイナミクスが収縮的かつ非増大であることを保証することで、散逸的誤差系を設計し、収束を保証する。
• 時間に依存しないフィードバック摂動を用いて、線形保存的ダイナミクスと非線形観測写像を有するシステムにこの手法を適用する。
• 特徴線法およびデュハメルの公式を用いて、PDEに埋め込まれたシステムにおける観測器状態および誤差ダイナミクスの収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元観測器は、有限次元出力フィードバックフレームワークで安定化を妨げる観測不能性特異点を軽減できるか？
• RQ2 非線形システムが無限次元ユニタリ系に埋め込まれた場合、どのような条件下で散逸的誤差系を構築できるか？
• RQ3 ユニタリ系への埋め込みが、安定化可能性を保存し、観測不能なターゲット付近でのフィードバック摂動戦略を可能にする仕組みは何か？
• RQ4 非線形システムに観測不能な均衡点がある場合、表現論を体系的に応用して観測器を構築できるか？
• RQ5 動的出力フィードバックの定義を無限次元観測器を含むように拡張することで、安定化のための位相的障害が解消されるか？

主な発見

• 提案された無限次元観測器フレームワークは、古典的観測器が観測不能性の喪失により失敗する場合でも、観測不能なターゲット点でのシステム安定化に成功する。
• 観測器の誤差ダイナミクスが散逸的かつ収縮的であることが証明され、推定誤差が漸近的にゼロに収束することが保証される。
• 線形保存的ダイナミクスと非線形出力を持つ特定のクラスのシステムに対して、フィードバック摂動およびユニタリ埋め込みを用いてグローバル漸近的安定化が達成される。
• 観測器設計における行列 Q が α > 0 のとき可逆であることが示され、適切に定義された観測器合成手順の存在が保証される。
• 観測器状態 ẑ(t) の極限挙動は弱収束して 1 に収束し、t → ∞ のとき誤差 ε(t) → 0 となることが確認され、状態推定の収束が裏付けられる。
• 主要結果 N²∞ = 0 が導出され、無限次元ノルムにおける推定誤差が消えることが証明され、閉ループシステムのグローバル安定性が示される。