[論文レビュー] New Provisional Lower Bounds on the Optimal Density of Sphere Packings

Salvatore Torquato, Frank H. Stillinger|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2005

Optimization and Packing Problems参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、最適な球詰めの密度に対する新たな一時的下界を、最適化手順と不規則な球詰めに関する予想を活用することで、高次元ユークリッド空間 ℝ^d において提案する。この手法により、100年前のミンコフスキーの下界に比べて指数的改善が達成され、漸近的な密度は 2^{-0.7786...d} のスケーリングを示し、平均のキッシング数に対しても 2^{0.2213...d} の対応する下界が得られる。

ABSTRACT

Sphere packings in high dimensions interest mathematicians and physicists and have direct applications in communications theory. Remarkably, no one has been able to provide exponential improvement on a 100-year-old lower bound on the maximal packing density due to Minkowski in d-dimensional Euclidean space ℜd. The asymptotic behavior of this bound is controlled by 2−d in high dimensions. Using an optimization procedure that we introduced earlier [TS02] and a conjecture concerning the existence of disordered sphere packings in ℜd, we obtain a provisional lower bound on the density whose asymptotic behavior is controlled by 2−0.7786...d, thus providing the putative exponential improvement of Minkowski’s bound. The conjecture states that a hard-core nonnegative tempered distribution is a pair correlation function of a translationally invariant disordered sphere packing in ℜd for asymptotically large d if and only if the Fourier transform of the autocovariance function is nonnegative. The conjecture is supported by two explicit analytically characterized disordered packings, numerical simulations in low dimensions, and known necessary conditions that only have relevance in very low dimensions. A byproduct of our approach is an asymptotic lower bound on the average kissing number whose behavior is controlled by 20.2213...d, which is to be compared to the best known asymptotic lower bound on the individual kissing number of 20.2075...d. Interestingly, our optimization procedure is precisely the dual of a primal linear program devised by Cohn and Elkies [CE03] to obtain upper bounds on the density, and hence has implications for linear programming bounds. 1 1

研究の動機と目的

• 高次元における球詰め密度の下界について、100年前にミンコフスキーが示した長年の未解決問題を改善すること。
• 最適化と統計力学にインspiredされた予想を用いて、球詰め密度の下界を導出する新しい手法を開発すること。
• Cohn-Elkiesの線形計画法による下界の双対性と不規則な球詰め配置との間の関係を確立すること。
• 高次元における平均キッシング数の新たな漸近的下界を導出すること。

提案手法

• 文献[TS02]で以前に導入された最適化手順を用いて、球詰め密度の下界を導出する。
• 「ℝ^d における並進不変な不規則な球詰めの2点相関関数として、硬いコアの非負の温度付き分布が有効であるための必要十分条件は、その自己共分散関数のフーリエ変換が非負であることである」という予想を提示する。
• CohnとElkies[CE03]が導入した球詰め密度の上界を与える原始線形計画法と、提案された最適化フレームワークとの双対性を適用する。
• 低次元における解析的構成と数値シミュレーションを用いて、予想の妥当性を支援する。
• 予想と最適化フレームワークから、球詰め密度および平均キッシング数の漸近的下界を導出する。
• 非常に低次元でのみ関連する、2点相関関数の既知の必要条件を用いて、予想をさらに検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な詰めに関する新しい予想と、最適化アプローチを用いることで、高次元におけるミンコフスキーの下界に対する指数的改善が達成可能か？
• RQ2 高次元における不規則な球詰めの存在が、特定の2点相関関数によって特徴付けられる場合、密度の下界が向上するか？
• RQ3 提案された最適化手法とCohn-Elkiesの線形計画法による下界との双対性は、球詰め密度のよりタイトな下界の探索にどのように寄与するか？
• RQ4 提案された予想のもとで、高次元における不規則な球詰めの平均キッシング数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 低次元における解析的構成と数値シミュレーションは、不規則な球詰めの2点相関関数に関する予想の妥当性をどの程度支持するか？

主な発見

• 提案された手法により、漸近的スケーリング 2^{-0.7786...d} を持つ一時的下界が得られ、ミンコフスキーの下界（2^{-d} に比例）に比べて顕著な指数的改善が達成される。
• この手法は、個々のキッシング数の既知の最良漸近的下界 2^{0.2075...d} を上回る、漸近的下界 2^{0.2213...d} を平均キッシング数に対しても提供する。
• 最適化フレームワークは、CohnとElkies[CE03]が導入した球詰め密度の上界を与える原始線形計画法の双対と数学的に同等である。
• 自己共分散関数の非負フーリエ変換が、不規則な球詰めの有効な2点相関関数を示すという予想は、2つの解析的構成例と低次元における数値シミュレーションによって支持される。
• この予想は、既知の2点相関関数の必要条件と整合的であるが、これらの条件は非常に低次元でのみ関連する。
• 結果は、高次元球詰め理論における不規則な球詰め構造と線形計画法による下界との間に深い関係があることを示唆する。