[論文レビュー] New representation for Lagrangians of self-dual nonlinear electrodynamics

Evgeny Ivanov, Б. М. Зупник|ArXiv.org|Feb 28, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、4次元自己双対非線形電磁力学におけるラグランジアンの新しい $V,F$ 表記を導入し、補助的バイスピンルス場 $V_{\alpha\beta}, \bar{V}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ が非線形相互作用を符号化する。$SO(2)$双対性は、相互作用関数 $E(V^2, \bar{V}^2) = \tilde{E}(V^2\bar{V}^2)$ の $U(1)$ 不変性として実現され、離散的自己双対性は条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$ に対応し、摂動展開を用いない自己双対性制約の閉形式解が得られる。

ABSTRACT

We elaborate on a new representation of Lagrangians of 4D nonlinear electrodynamics including the Born-Infeld theory as a particular case. In this new formulation, in parallel with the standard Maxwell field strength $F_{αβ}, \bar{F}_{\dotα\dotβ}$, an auxiliary bispinor field $V_{αβ}, \bar{V}_{\dotα\dotβ}$ is introduced. The gauge field strength appears only in bilinear terms of the full Lagrangian, while the interaction Lagrangian $E$ depends on the auxiliary fields, $E = E(V^2, \bar V^2)$. The generic nonlinear Lagrangian depending on $F,\bar{F}$ emerges as a result of eliminating the auxiliary fields. Two types of self-duality inherent in the nonlinear electrodynamics models admit a simple characterization in terms of the function $E$. The continuous SO(2) duality symmetry between nonlinear equations of motion and Bianchi identities amounts to requiring $E$ to be a function of the SO(2) invariant quartic combination $V^2\bar V^2$, which explicitly solves the well-known self-duality condition for nonlinear Lagrangians. The discrete self-duality (or self-duality under Legendre transformation) amounts to a weaker condition $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$. We show how to generalize this approach to a system of $n$ Abelian gauge fields exhibiting U(n) duality. The corresponding interaction Lagrangian should be U(n) invariant function of $n$ bispinor auxiliary fields.

研究の動機と目的

• 摂動展開を用いない自己双対非線形電磁力学のラグランジアンの新しい表現を提供すること。
• 連続的 $SO(2)$ 双対性を補助相互作用関数 $E(V^2, \bar{V}^2)$ の $U(1)$ 不変性として特徴付けること。
• $U(n)$ 不変の $E(V^k, \bar{V}^k)$ を用いて、$n$ 個のアーベルゲージ場と $U(n)$ 双対性対称性を持つ形式への一般化を行うこと。
• 離散的自己双対性（ルジャンドル双対性）の条件を偶関数性として特定すること：$E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$。
• $U(n)$ 不変モデルへの枠組みの拡張を試み、超対称的および非アーベル一般化への関連性を検討すること。

提案手法

• 標準的なマクスウェル場強度 $F_{\alpha\beta}, \bar{F}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ に加えて、補助的バイスピンルス場 $V_{\alpha\beta}, \bar{V}_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ を導入する。
• 全ラグランジアンを $F$ と $V$ の二乗項の和と、補助場にのみ依存する相互作用項 $E(V^2, \bar{V}^2)$ として構成する。
• $SO(2)$ 双対性を実現するため、$E$ が $SO(2)$ 不変な組み合わせ $V^2\bar{V}^2$ の関数であることを要求し、運動方程式とバイオッチ恒等式の不変性を保証する。
• 離散的自己双対性を条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$ として特徴付け、これはルジャンドル変換に対する不変性に対応する。
• $n$ 個のアーベルゲージ場に一般化するため、$n$ 個のバイスピンルス補助場 $V^k_{\alpha\beta}, \bar{V}^k_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ を導入し、$E$ が $U(n)$ 不変であることを要求する。
• 補助場の代数的運動方程式を用いてそれらを消去し、物理的ラグランジアン $χ(F, \bar{F})$ を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形電磁力学における $SO(2)$ 双対性条件は、摂動展開を用いずにどのように正確に解けるか？
• RQ2 補助的バイスピンルス場が自己双対ラグランジアンの非線形構造をどのように符号化するか？
• RQ3 多ゲージ場系における $U(n)$ 双対性対称性は、$V,F$ 表記においてどのように現れるか？
• RQ4 補助場相互作用関数 $E$ の観点から、離散的自己双対性（ルジャンドル双対性）の正確な条件は何か？
• RQ5 $V,F$ 形式は、非線形電磁力学の超対称的または非アーベル一般化へ拡張可能か？

主な発見

• $SO(2)$ 双対性条件は、相互作用関数 $E(V^2, \bar{V}^2)$ が $SO(2)$ 不変な組み合わせ $V^2\bar{V}^2$ のみに依存する、すなわち $E = \tilde{E}(V^2\bar{V}^2)$ であると要求することで正確に解かれる。
• 摂動理論を用いずに、$SO(2)$ 自己双対ラグランジアンの一般解が得られ、その理論の全クラスを閉形式でパrametrization可能となる。
• 離 discrete 自己双対性は条件 $E(V^2, \bar{V}^2) = E(-V^2, -\bar{V}^2)$ によって特徴付けられ、既知の $n=1$ の場合を一般化し、ルジャンドル変換に対する不変性を保証する。
• $n$ 個のアーベルゲージ場に対しては、$E(V^k, \bar{V}^k)$ が $U(n)$ 不変であることが要求され、自己双対性条件は単純な群論的制約に還元される。
• $V,F$ 表記により、$V_{\alpha\beta}^k$ の代数的運動方程式を解くことで全ラグランジアンを再構成可能であり、ボルン＝インフェルトの場合には閉形式解が得られる。
• この手法は自己双対モデルを研究する新しい枠組みを提供し、$N=1, N=2$ 超対称理論および非アーベルボルン＝インフェルト理論への応用が期待される。