[論文レビュー] New results on approximate Hilbert pairs of wavelet filters with common factors

Sophie Achard, Irène Gannaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Image and Signal Denoising Methods参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Thiranの共通因数法を用いて構築された複素ウェーブレットにおける解析的近似誤差を定量化する明示的な解析的式およびきつい上限を提供し、任意に多くの消失モーメントを有する正規直交的・完全再構成可能ウェーブレットフィルタの存在を証明する。共通因数次数Lの増加に伴い解析的性質が向上することを示し、広く用いられているこの設計手法における長年の理論的裏付けの欠如を解消する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the design of wavelet filters based on the Thiran common-factor approach proposed in Selesnick [2001]. This approach aims at building finite impulseresponse filters of a Hilbert-pair of wavelets serving as real and imaginary part of a complexwavelet. Unfortunately it is not possible to construct wavelets which are both finitelysupported and analytic. The wavelet filters constructed using the common-factor approachare then approximately analytic. Thus, it is of interest to control their analyticity. Thepurpose of this paper is to first provide precise and explicit expressions as well as easilyexploitable bounds for quantifying the analytic approximation of this complex wavelet.Then, we prove the existence of such filters enjoying the classical perfect reconstructionconditions, with arbitrarily many vanishing moments.

研究の動機と目的

• Thiranの共通因数法を用いて構築された複素ウェーブレットにおける解析的近似誤差を定量化する明示的かつ正確な式を提供すること。
• 共通因数次数Lの関数としての解析的性質誤差にきつい、容易に利用可能な上限を確立すること。
• 共通因数法を用いて、任意に多くの消失モーメントを有する正規直交的・完全再構成可能ウェーブレットフィルタの存在を証明すること。
• 従来、厳密な理論的証明が欠けていたThiranの共通因数構成法の理論的妥当性を形式的に検証すること。
• 解析的性質の近似品質という観点から、このようなフィルタの性能を数値的に評価すること。

提案手法

• 共通因数多項式s(y)にベズウト方程式枠組みを適用し、解析的近似誤差の明示的公式を導出する。
• 共通因数次数Lの増加に伴い減少する解析的性質誤差の上限を確立し、Lが高くなるほど近似精度が向上することを証明する。
• 多項式方程式が定義するウェーブレットフィルタのすべての解を特徴付けるためにベズウト定理を適用し、次数制約下での一意性を保証する。
• フィルタ因数分解に必要な反対称性および正値制約を満たす多項式q(y)の存在を示すために、ストーン＝ヴァイエルシュトラス定理を用いる。
• 多項式s(y)の複素根解析を用いて、補間および再帰的関係を介してフィルタ係数の明示的表現を導出する。
• 特定の共通因数ウェーブレットにおける解析的性質近似の評価を含むシミュレーションスタディを通じて、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thiranの共通因数ウェーブレットフィルタにおける解析的近似誤差の正確な数学的表現は何か？
• RQ2 解析的性質誤差は共通因数次数Lにどのように依存し、明示的な上限を付けることができるか？
• RQ3 共通因数法を用いて、任意に多くの消失モーメントを有する正規直交的・完全再構成可能ウェーブレットフィルタを構築できるか？
• RQ4 Thiranの共通因数構成法は理論的に妥当であり、その存在を厳密に証明できるか？
• RQ5 解析的性質の近似品質は異なるフィルタ設計においてどのように変化し、数値的に定量化可能か？

主な発見

• 本稿は、共通因数多項式s(y)およびその根を用いた解析的近似誤差の明示的公式を導出し、正確な定量化を可能にする。
• 解析的性質誤差のきつい上界が確立され、共通因数次数Lの増加に伴い減少することが示され、Lが高くなるほど解析的性質が向上することを確認する。
• 共通因数法を用いて、任意に多くの消失モーメントを有する正規直交的・完全再構成可能ウェーブレットフィルタの存在が厳密に証明される。
• フィルタ因数分解に必要な反対称性および正値条件を満たす適切な多項式q(y)の存在が証明され、構成法の有効性が裏付けられる。
• 理論的上限が空虚でなく、y=1/2における反対称性制約と整合的であることが示され、有効な解の存在が保証される。
• 数値例により、Lの増加に伴い解析的性質の近似精度が向上することが確認され、理論的上限と整合的である。