[論文レビュー] New Results on Directed Edge Dominating Set

Rémy Belmonte, Tesshu Hanaka+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおける (p, q)-Edge Dominating Set 問題について、固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムおよび多項式カーネルの改善を提示している。特に (0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS において、実行時間の顕著な向上が達成された。また、(p,q)-dEDS が p+q+tw でパラメータ化された場合に FPT であることが示されたが、treewidth のみでパラメータ化した場合は W-hard である。トーナメントにおいては、p と q に応じて、P に属する、 quasi-polynomial 時間で解ける、または NP-hard（確率的還元のもと）であることが分類された。p=q=1 の場合が唯一の NP-hard ケースである。

ABSTRACT

We study a family of generalizations of Edge Dominating Set on directed graphs called Directed (p,q)-Edge Dominating Set. In this problem an arc (u,v) is said to dominate itself, as well as all arcs which are at distance at most q from v, or at distance at most p to u. First, we give significantly improved FPT algorithms for the two most important cases of the problem, (0,1)-dEDS and (1,1)-dEDS (that correspond to versions of Dominating Set on line graphs), as well as polynomial kernels. We also improve the best-known approximation for these cases from logarithmic to constant. In addition, we show that (p,q)-dEDS is FPT parameterized by p+q+tw, but W-hard parameterized just by tw, where tw is the treewidth of the underlying graph of the input. We then go on to focus on the complexity of the problem on tournaments. Here, we provide a complete classification for every possible fixed value of p,q, which shows that the problem exhibits a surprising behavior, including cases which are in P; cases which are solvable in quasi-polynomial time but not in P; and a single case (p=q=1) which is NP-hard (under randomized reductions) and cannot be solved in sub-exponential time, under standard assumptions.

研究の動機と目的

• (0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS の FPT アルゴリズムと近似比の改善。
• treewidth および p+q に関する (p,q)-dEDS のパラメータ化された複雑性の分類。
• すべての固定された p,q について、トーナメント上での (p,q)-dEDS の正確な複雑性を特定すること。
• (0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS に多項式カーネルの存在を確立し、他のケースでは W-hard であることを示すこと。

提案手法

• (0,1)-dEDS と (1,1)-dEDS にそれぞれ 2^k および 9^k の FPT アルゴリズムを達成するための新しい分岐戦略を提案。これは、先行研究の 25^10k の境界を改善する。
• 構造的グラフ理論と木分解上の動的計画法を用いて、p+q+tw でパラメータ化した場合の FPT 性を示した。
• max{p,q} = 2 かつ p,q ≠ 1 の場合に、(p,q)-dEDS を準多項式時間で解くために、小さな頂点部分集合の全探索を適用。
• トーナメントにおけるキング頂点の性質と強い連結成分分解を用いて、多項式時間アルゴリズムを導出した。
• p > q の場合に (p,q)-dEDS を (q,p)-dEDS に還元するために、弧の反転を用いた対称性の活用。
• 減少ルールとカーネル化技術を用いて、(0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS に多項式カーネルを導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hanaka ら (2019) の 25^10k の境界を大幅に超える (0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS の FPT アルゴリズムは達成可能か？
• RQ2 (0,1)-dEDS および (1,1)-dEDS に多項式カーネルは存在するのか？ また、p+q が小さい場合のパラメータ化された複雑性は？
• RQ3 (p,q)-dEDS は p+q+tw でパラメータ化した場合に FPT か？ 一方、treewidth のみでパラメータ化した場合はどうなるか？
• RQ4 すべての固定された p,q 値について、トーナメント上での (p,q)-dEDS の正確な複雑性は何か？
• RQ5 なぜ (p=q=1)-dEDS のみがトーナメント上で NP-hard であり、P、準多項式時間、NP-hard の三つに分かれる背後にはどのような理由があるのか？

主な発見

• 本稿では、(0,1)-dEDS に対して 2^k の FPT アルゴリズムを提示し、Hanaka ら (2019) の 25^10k の境界を改善した。
• (1,1)-dEDS に対して 9^k の FPT アルゴリズムを提示し、従来の 25^10k の境界を顕著に改善した。
• (0,1)-dEDS に対しては O(k) のサイズ、(1,1)-dEDS に対しては O(k^2) のサイズの多項式カーネルが確立された。
• (1,1)-dEDS に対しては 8-近似アルゴリズムを提供し、Hanaka ら (2019) の O(log n)-近似を改善した。
• (0,1)-dEDS に対しても 3-近似アルゴリズムを提示し、以前の対数的近似を改善した。
• トーナメント上では、p+q ≤1 または max{p,q} ≥3 かつ 2 ∉{p,q} の場合、(p,q)-dEDS は P に属する。max{p,q}=2 かつ p,q ≠1 の場合、準多項式時間で解ける。p=q=1 の場合に限り、NP-hard（確率的還元のもと）である。