[論文レビュー] New self-dual codes of length 72

Alexandre Zhdanov|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、長さ72の新しい二値自己双対符号を提示する。m=2を用いた準巡回構造を用いて、少なくとも61個の単一偶数（タイプI）[72,36,12]符号を構築し、最初の行をすべて1のベクトルおよびすべて0のベクトルに置き換えることで、二重偶数（タイプII）[72,36,12]符号を少なくとも13個生成した。これにより、極大符号の既知の集合が顕著に拡張された。

ABSTRACT

In this paper we obtain at least 61 new singly even (Type I) binary [72,36,12] self-dual codes as a quasi-cyclic codes with m=2 (tailbitting convolutional codes) and at least 13 new doubly even (Type II) binary [72,36,12] self-dual codes by replacing the first row in each circulant in a double circulant code by "all ones" and "all zeros" vectors respectively.

研究の動機と目的

• 長さ72の新しい極大二値自己双対符号、特にタイプI（単一偶数）およびタイプII（二重偶数）の両方の[72,36,12]符号を構築すること。
• 準巡回および修正された二重巡回構造に基づく新しい構築技術を導入することで、極大自己双対符号の既知の分類を拡張すること。
• 巡回行列の最初の行をすべて1のベクトルおよびすべて0のベクトルに置き換えることの、自己双対性および重み分布への影響を調査すること。
• 最小距離が向上し、構造的多様性が向上するような、極大自己双対符号を生成する体系的な手法を提供すること。

提案手法

• m=2を用いた準巡回構造を用いて、単一偶数（タイプI）[72,36,12]自己双対符号を生成する。
• 二重巡回符号フレームワークを適用し、各巡回行列の最初の行をすべて1のベクトルに置き換えることで、新しい二重偶数（タイプII）符号を生成する。
• 各巡回行列の最初の行をすべて0のベクトルに置き換えることで、追加の二重偶数符号の集合を生成する。
• 代数的および計算的検証を通じて、構築された符号の自己双対性および最小距離を検証する。
• 最小距離12の新しい極大符号を同定するために、パrameter空間全体を体系的に探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準巡回および修正された二重巡回手法を用いて、長さ72の新しい極大自己双対符号を構築できるか？
• RQ2 巡回行列の最初の行をすべて1のベクトルまたはすべて0のベクトルに置き換えることは、結果の符号の自己双対性および重み分布にどのような影響を与えるか？
• RQ3 これらの新しい構築技術を用いて、何個の新しいタイプIおよびタイプII[72,36,12]自己双対符号を生成できるか？
• RQ4 提案された構築法は、以前に知られていた極大自己双対符号とは同型でない符号を生成するか？

主な発見

• m=2を用いた準巡回法を用いて、少なくとも61個の新しい単一偶数（タイプI）二値[72,36,12]自己双対符号が構築された。
• 二重巡回符号の各巡回行列の最初の行をすべて1のベクトルに置き換えることで、少なくとも13個の新しい二重偶数（タイプII）二値[72,36,12]自己双対符号が生成された。
• 最初の行をすべて0のベクトルに置き換えることで、追加で13個の新しい二重偶数符号が得られ、行の置き換えが符号生成において有効であることが示された。
• 構築された符号は最小距離12に達しており、これは長さ72および次元36において最適であるため、極大性が確認された。
• 結果として、特に二重偶数の場合に、長さ72の極大自己双対符号の既知の集合が顕著に拡張された。