[論文レビュー] New sufficient conditions of existence, moment estimations and non confluence for SDEs with non-Lipschitzian coefficients

Guangqiang Lan, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ型で確率的係数を有する確率微分方程式（SDE）の強解の存在、一意性、およびモーメント推定に関する、新たな十分条件を確立する。局所的弱単調性条件（関数η_Rに関する可積分性条件を含む）を導入し、オイラーの近似法を用いることで、パスごとの一意性と非爆発性を証明する。また、テスト関数法とグロワール型の議論を用いて、時刻同性SDEに関して非凝集性（非接触）性を導出する。

ABSTRACT

The object of the present paper is to find new sufficient conditions for the existence of unique strong solutions to a class of (time-inhomogeneous) stochastic differential equations with random, non-Lipschitzian coefficients. We give an example to show that our conditions are indeed weaker than those relevant conditions existing in the literature. We also derive moment estimations for the maximum process of the solution. Finally, we present a sufficient condition to ensure the non confluence property of the solution of time-homogeneous SDE which, in one dimension, is nothing but stochastic monotone property of the solution.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ型で確率的係数を有する時刻不変SDEの強解の存在および一意性を保証する新たな十分条件を確立すること。
• 既存の文献よりも弱い条件下で、解の最大過程に関するモーメント推定を導出すること。
• 時刻同性SDEの解の非凝集性（非接触）性を保証する十分条件を提示すること。これは1次元において確率的単調性と同値である。
• 具体例を用いて、提案された条件が既存の文献における条件（例：[2]および[16]）よりも厳密に弱いかどうかを示すこと。

提案手法

• ∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞ を満たす関数η_Rを含む、局所的弱単調性条件（1.3）を導入し、古典的なリプシッツ型仮定を一般化する。
• SDEのオイラー近似スキームを用い、一様緊密性および近似列の緊密性を用いて収束を証明する。
• 2つの解間の距離過程を解析するため、Φ_δ(x) = exp(∫ₓ^{c₀} ds/(γ_R(s) + δ)) として慎重に構築されたテスト関数を用いて伊藤の補題を適用する。
• テスト関数の期待値に対してグロワール型不等式を適用し、解のパスが重なる確率を制御することで、非凝集性を証明する。
• 爆発および凝集事象を制御するため、停止時刻τ_R、τ_ε、τ_ζを用いて過程を局所化する。
• 強マルコフ性およびパスごとの一意性を活用し、非凝集性結果を初期時間区間を超えて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なリプシッツまたは線形成長仮定よりも弱い十分条件が、非リプシッツ係数を有するSDEの強解の存在および一意性を保証できるか？
• RQ2 非リプシッツ係数の下で、解の最大過程に関するどのようなモーメント推定が得られるか？
• RQ3 時刻同性SDEの解が凝集（パスが重ならない）する条件は何か？
• RQ4 グローバルリプシッツ連続性を要件とせず、テスト関数および確率的積分法を用いて非凝集性を確立できるか？

主な発見

• ∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞ を満たす局所的弱単調性条件（1.3）は、既存の文献における条件よりも厳密に弱く、反例によりその有効性が示された。
• 提案された条件（1.3）の下で、オイラー近似および緊密性の議論を用いて、強解の存在およびパスごとの一意性が証明された。
• 解の最大過程に関するモーメント推定が得られたが、明示的な閉形式表現は与えられなかった。
• 条件（1.5）の下で、解の非爆発性が保証された。この条件は、関数γを用いて∫_K^∞ dx/(γ(x)+1) = ∞ を満たすことで、線形成長を一般化する。
• テスト関数とグロワールの補題を用いて、2つの解が重なる確率が0であることを示すことにより、時刻同性SDEに対して非凝集性が確立された。
• 証明により、解過程がフェラー過程であり、強マルコフ性を有することが示された。これにより、非凝集性結果を連続する時間区間へと拡張可能となった。