[論文レビュー] Nilpotent quantum mechanics, qubits, and flavors of entanglement

Andrzej Frydryszak|ArXiv.org|Oct 16, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可換な冪零変数を用いて、パウリ的排他原理に従う複合的でボソン的な性質を持つキュービットを記述するための冪零 $η$-形式的体系を導入する。$η$-シュレーディンガー方程式を定式化し、$n=2,3,4$ キュービットにおけるもつれのモニターと分離可能性の基準を $η$-関数のロンスキアンを用いて導出する。既知の不変量をこれらのロンスキアンで表現することで、もつれの分類を統一的かつ簡素化したフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We address the question of description of qubit system in a formalism based on the nilpotent commuting variables. In this formalism qubits exhibit properties of composite objects being subject of the Pauli exclusion principle, but otherwise behaving boson-like. They are not fundamental particles. In such an approach the classical limit yields the nilpotent mechanics. Using the space of $η$-wavefunctions, generalized Schrödinger equation etc. we study properties of pure qubit systems and also properties of some composed, hybrid models: fermion-qubit, boson-qubit. The fermion-qubit system can be truly supersymmetric, with both SUSY partners having identical spectra. It is new and very interesting that SUSY transformations relate here only nilpotent object. The $η$-eigenfunctions for the qubit-qubit system give the set of Bloch vectors as a natural basis. Then the $η$-formalism is applied to the description of the pure state entanglement. Nilpotent commuting variables were firstly used in this context in [A. Mandilara, et. al., Phys. Rev. A extbf{74}, 022331 (2006)], we generalize and extend approach presented there. Our main tool for study the entanglement or separability of states are Wronskians of $η$-functions. The known invariants and entanglement monotones for systems of $n=2,3,4$ qubits are expressed in terms of the Wronskians. This approach gives criteria for separability of states and insight into the flavor of entanglement of the system and simplifies description.

研究の動機と目的

• 可換な $η$-変数に基づく冪零形式的体系を構築し、キュービットをパウリ的排他原理に従う複合的・ボソン的対象として記述すること。
• 反可換変数を用いたフェルミオンの古典的極限に類似した、キュービットの古典的極限（冪零力学）を定式化すること。
• $η$-波動関数とロンスキアンに基づく不変量を用いて、多キュービット系における純粋状態のもつれを特徴付ける新しいフレームワークを提供すること。
• 既知の $n=2,3,4$ キュービットにおけるもつれモニターと不変量を、$η$-関数のロンスキアンの形で表現し、それらの計算と分類を簡素化すること。
• 特にフェルミオン-キュービット系のようなハイブリッド系における超対称構造を探索し、SUSY変換が冪零対象に対してどのように作用するかを明らかにすること。

提案手法

• $η$-数と $η$-関数を導入し、それらを基盤として、キュービット状態が冪零波動関数として表現されるヒルベルト空間（$\mathcal{N}$-ヒルベルト空間）を構築する。
• 標準的量子力学的枠組みを一般化する、$η$-シュレーディンガー方程式を導出することで、冪零形式的体系における時間発展を記述する。
• 多キュービット状態のもつれモニターと分離可能性基準を定義する中心的ツールとして、$η$-関数のロンスキアンを用いる。
• $η$-関数の因数分解技術を適用し、状態が単一サイト関数の積に因数分解できるかどうかで分離可能性を判定する：状態が分離可能であるための必要十分条件は、$η$-関数がそのような積に分解できることである。
• 既知の多項式不変量（例：$n=2,3,4$）をロンスキアンの形で表現し、もつれモニターの直接的計算を可能にする。
• エンタングル状態のSLOCC同値類の代表元を$η$-形式的体系で構成し、もつれの「味」を分類する自然な基底を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして可換な冪零変数を用いてキュービットを一貫的に記述できるか。また、この形式的体系の古典的極限（冪零力学）は何か。
• RQ2 $η$-形式的体系は、特に $n=2,3,4$ において、多キュービット系におけるもつれを統一的かつ簡素化されたフレームワークで特徴付けることができるか。
• RQ3 $η$-関数のロンスキアンが分離可能性の判定ともつれモニターの計算に果たす役割は何か。
• RQ4 $η$-形式的体系はもつれの「味」をどのように明らかにし、エンタングル状態のSLOCC同値類を分類できるか。
• RQ5 フェルミオン-キュービットのようなハイブリッド系において超対称性を実現できるか。もし可能であれば、SUSY変換はどのように冪零枠組み内で作用するか。

主な発見

• $η$-形式的体系は、キュービット-キュービット系における$η$-固有関数から導かれるブロッホベクトルを用いて、キュービット状態の自然な基底を提供する。
• $η$-関数のロンスキアンは、もつれの完全な不変量集合を構成し、分離可能性は$η$-関数の因数分解と同値である。
• $n=4$ キュービットの場合、ロンスキアンを用いてもつれモニターの明示的表現を導出する。例えば、$\tilde{\mathcal{H}}_1^2 - 4w_{23}(F|_{\eta_1=0})w_{23}(\partial_1 F)$ は $d_2 - 3d_3$ に等しい。
• 本稿では、$\sum_{i=1}^3 \tilde{\mathcal{H}}_i = 3d_1 - 2d_2$ および $\sum_{k=1}^3 w_{ij}(F|_{\eta_k=0})w_{ij}(\partial_k F) = d_2 - 3d_3$ を確立し、重要な恒等式（式252）を導出する。
• エンタングル状態のSLOCC同値類の代表元が$η$-形式的体系で明示的に構成され、$\Psi_1, \Psi_2, \dots, \Psi_9$ のような状態が、指数関数と$η$-変数の積の閉じた形で表現される。
• 形式的体系は、キュービットが基本的対象ではなく、合成的対象であることを明らかにする。対称テンソル積においてボソン的性質を示すが、冪零性のためパウリ的排他原理に従う。