[논문 리뷰] No arbitrage and local martingale deflators

Yuri Kabanov, Constantinos Kardaras외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제1종 무보상 조건(NA₁) 하에서 원래의 확률측도의 총변동 이웃 영역 내에 엄격히 양의 국소마르팅글(deflator)이 존재하는 동치확률측도가 존재함을 증명한다. 주요 기여는 단일 자산 모델에서의 기존 결과를 다차원의 semimartingale 모델로 일반화한 것으로, NA₁ 조건이 원래 측도에서 국소마르팅글 deflator가 존재하지 않을 수 있음에도 불구하고, 원래 측도의 임의의 총변동 이웃 영역 내에서는 국소마르팅글 deflator가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

A supermartingale deflator (resp., local martingale deflator) multiplicatively transforms nonnegative wealth processes into supermartingales (resp., local martingales). The supermartingale numeraire (resp., local martingale numeraire) is the wealth processes whose reciprocal is a supermartingale deflator (resp., local martingale deflator). It has been established in previous literature that absence of arbitrage of the first kind (NA1) is equivalent to existence of the supermartingale numeraire, and further equivalent to existence of a strictly positive local martingale deflator; however, under NA1, the local martingale numeraire may fail to exist. In this work, we establish that, under NA1, any total-variation neighbourhood of the original probability has an equivalent probability under which the local martingale numeraire exists. This result, available previously only for single risky-asset models, is in striking resemblance with the fact that any total-variation neighbourhood of a separating measure contains an equivalent $σ$-martingale measure. The presentation of our main result is relatively self-contained, including a proof of existence of the supermartingale numeraire under NA1. We further show that, if the Levy measures of the asset-price process have finite support, NA1 is equivalent to existence of the local martingale numeraire with respect to the original probability.

연구 동기 및 목표

• NA₁ 조건 하에서 원래의 확률측도의 임의의 총변동 이웃 영역 내에 엄격히 양의 국소마르팅글 deflator가 존재함을 증명하는 것.
• 이전에 알려진 단일 자산 모델에서만 유효한 결과를 다차원 semimartingale 프레임워크로 일반화하는 것.
• NA₁와 국소마르팅글 numéraire의 존재 간 관계를 명확히 하는 것, 특히 원래 측도 하에서 이러한 numéraire가 존재하지 않을 수 있는 경우에 대해 고려하는 것.
• 유한한 Lévy 측도 지지 집합 조건 하에서, NA₁는 원래의 확률측도 하에서 엄격히 양의 국소마르팅글 deflator의 존재와 동치임을 보이는 것.
• NA₁ 조건 하에서 초마르팅글 numéraire의 존재를 기초 원리에 기반해 자가 포함된 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 확립된 바에 따르면, NA₁는 엄격히 양의 초마르팅글 deflator의 존재와 동치임을 이용한다.
• 확률측도에 대한 변형 기법을 적용한다: 원래 측도의 임의의 총변동 이웃 영역에 대해, 국소마르팅글 deflator가 존재하는 동치측도를 구성한다.
• 국소마르팅글 deflator, 이차변동, 점프의 지표함수를 이용한 절단 기법 등을 포함한 확률미분해석 기법을 활용한다.
• 점프 성분 및 이차변동 항과 같은 핵심 과정들의 확률적 유계성에 의존하며, φ(y) 및 ψ(y)와 같은 함수를 포함한 부등식을 사용한다.
• 절단된 적분자에 대한 확률적 적분의 대수법칙을 적용하여, 특정 조건 하에서 수렴성과 유계성(tightness)을 증명한다.
• 도브의 부등식과 변수변환 공식을 사용하여 마르팅글 항의 성장률을 통제하고, 균일적 적분 가능성(uniform integrability)을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 모델에서 NA₁ 조건이 원래의 확률측도의 이웃 영역 내 국소마르팅글 deflator의 존재를 유도하는가?
• RQ2 원래의 단일 자산 결과—이웃 측도에서의 국소마르팅글 deflator 존재성—을 다자산 semimartingale 모델로 확장할 수 있는가?
• RQ3 Lévy 측도에 어떤 조건이 성립할 경우 NA₁가 원래 측도 하에서 국소마르팅글 deflator의 존재를 암시하는가?
• RQ4 원래 측도 하에서 국소마르팅글 numéraire의 실패는 자산 가격 과정의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 원래 측도 하에서 국소마르팅글 deflator의 실패가 발생할 경우, 총변동 이웃 영역이 국소마르팅글 deflator의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• NA₁ 조건 하에서, 원래의 확률측도의 임의의 총변동 이웃 영역에 대해, 엄격히 양의 국소마르팅글 deflator가 존재하는 동치확률측도가 존재한다.
• 이 결과는 이전에 알려진 단일 자산 결과를 다차원 semimartingale 모델로 일반화하여, NA₁의 강력한 구조적 성질을 입증한다.
• 자산 수익률 과정의 Lévy 측도가 유한한 지지 집합을 가질 경우, NA₁는 원래의 확률측도 하에서 엄격히 양의 국소마르팅글 deflator의 존재와 동치이다.
• 집합 {supₜ ΔRₛ I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R}는 P-유계이며, 이는 NA₁ 조건 하에서 자본 과정의 큰 점프에 대한 통제를 의미한다.
• 집합 {∑ₛ≤T (ΔRₛ)²/(1+ΔRₛ) I_{ΔRₛ > 2}, R ∈ R}는 P-유계이며, NA₁ 조건 하에서 점프 성분의 적분 가능성( integrability )을 확인한다.
• 절단된 확률적 적분에 대한 대수법칙은 Mⁿ_T / (Lⁿ_T)^{3/4}가 P-유계임을 보여주며, 이는 NA₁ 조건 하에서 확률 수렴 결과를 뒷받침한다.