[論文レビュー] Noether's problem and unramified Brauer groups

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、代数幾学および群論における長年の未解決問題を解決し、任意の奇素数 $ p $ に対して、位数 $ p^5 $ の有限 $ p $-群 $ G $ の非分岐ブラウ어群 $ B_0(G) $ が非自明であるための必要十分条件が、$ G $ が同型分類族 $ \Phi_{10} $ に属することであることを証明する。これにより、Bogomolov が $ p^5 $-群に対して $ B_0(G) = 0 $ であると主張したのを反証する。結果として、非分岐ブラウエ群を用いた Noether 問題における有理性の障害を明確に特定した。

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acing on the rational function field $k(x_g:g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g:g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bm{C}(G)$ is rational over $\bm{C}$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bm{C}(G)$ over $\bm{C}$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer calculations. We will prove the following theorem. Theorem. Let $p$ be any odd prime number, $G$ be a group of order $p^5$. Then $B_0(G) e 0$ if and only if $G$ belongs to the isoclinism family $Φ_{10}$ in R. James's classification of groups of order $p^5$.

研究の動機と目的

• 位数 $ p^5 $ の有限 $ p $-群のうち、非分岐ブラウエ群が非自明であるものを正確に特定し、先行研究における矛盾を解消すること。
• 非アーベル $ p $-群に対して、固定体 $ k(G) $ の有理性と Bogomolov 乗数 $ B_0(G) $ の関係を明確にすること。
• 代数閉体 $ k $ 上で $ k(G) $ が有理でない $ p $-群の位数 $ p^5 $ の完全な分類を提供すること。
• 群 $ \Phi_{10} $ に属する群の明示的線形表現 $ G \to GL(V) $ を構成し、不変体 $ k(V)^G $ が有理でないことを示し、商概型の非有理性を実証すること。

提案手法

• 群コホロロジーを用いて、$ B_0(G) $ をすべての二重巡回部分群 $ A \leq G $ に対して $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ から $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ への制限写像の核の共通部分集合として定義する。
• Saltman および Bogomolov の定理を適用し、$ k $ が代数閉かつ $ \gcd(|G|, \operatorname{char}k) = 1 $ のとき、$ B_0(G) $ を非分岐ブラウエ群 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $ と同一視する。
• R. James による $ p^5 $-群の10個の同型分類族について、群の表示と指標の誘導を用いて、$ B_0(G) $ を個別に計算する。
• アーベル部分群からの誘導表現を用いて、$ \dim_k V = p^2 $（奇素数 $ p $ の場合）または 8（$ p=2 $ の場合）の忠実な線形表現 $ G \to GL(V) $ を構成し、$ k(V)^G $ が有理でないことを示す。
• 補題 1.3 および定理 3.1 を活用し、$ k(V)^G $ の非分岐ブラウエ群と $ k(G) $ のそれとの関係を保ちながら、非自明性を保存する。
• 計算機支援計算（Moravec の手法に準拠）を用いて、$ p=3,5,7 $ に対して $ B_0(G) $ が消えないことを確認し、すべての奇素数に対して結果が成立することを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数 $ p^5 $ の有限 $ p $-群 $ G $ のうち、非分岐ブラウエ群 $ B_0(G) $ が非自明であるのはどのようなものか？
• RQ2 Bogomolov が主張したように、すべての $ p^5 $-群に対して $ B_0(G) $ は消えるのか？
• RQ3 非有理性の検出は、非自明な非分岐ブラウエ群の存在によって可能か？
• RQ4 どの同型分類族の $ p^5 $-群に対して、$ k(V)^G $ が有理でない忠実な線形表現 $ G \to GL(V) $ が存在するか？
• RQ5 $ k(V)^G $ が有理でないとき、商概型 $ \mathbb{P}(V)/G $ は代数閉体上であっても有理か？

主な発見

• 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ B_0(G) \neq 0 $ であるための必要十分条件は、$ G $ が James の $ p^5 $-群分類における同型分類族 $ \Phi_{10} $ に属することである。
• この結果は、Bogomolov が $ p^5 $-群に対して $ B_0(G) = 0 $ であると主張したのを反証するものであり、特に $ p=3,5,7 $ に対して、Moravec の計算的反例により確認されている。
• $ G \in \Phi_{10} $ であるとき、$ \dim_k V = p^2 $ である忠実な線形表現 $ G \to GL(V) $ が存在し、代数閉体 $ k $（$ \operatorname{char}k \neq p $）上で $ k(V)^G $ は有理でない。
• 位数 64 の 16 番目の同型分類族に属する群に対しては、$ \dim_k V = 8 $ の忠実表現が存在し、$ k(V)^G $ が有理でない。これは $ \mathbb{P}(V)/G $ が有理でないことを示唆する。
• 非分岐ブラウエ群 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $ は $ B_0(G) $ と同型であり、その非自明性は $ k(G) $ が再帰的有理でない（したがって有理でもない）ことを示す。
• 本証明により、$ \Phi_{10} $ に属さないすべての $ p^5 $-群に対して $ B_0(G) = 0 $ であることが示され、これらの群における Noether 問題の有理性の障害が完全に分類された。