[論文レビュー] Noise-induced canard and mixed-mode oscillations in large stochastic networks with multiple timescales

Jonathan Touboul, Maciej Krupa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複数の時定数を持つ大規模な確率的ニューラルネットワークにおけるノイズが、平均場極限においてカナード爆発およびミックスドモード振動を引き起こすことを示している。平均活性の正確な常微分方程式を導出することで、著者らはノイズがダイナミクスを定性的に変化させることを示し、顕著なノイズレベルが存在する中でも、通常は決定的で速い・遅い系において観察される複雑な周期的パターンを可能にする。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of large stochastic networks with different timescales and nonlinear mean-field interactions. After deriving the limit equations for a general class of network models, we apply our results to the celebrated Wilson-Cowan system with two populations with or without slow adaptation, paradigmatic example of nonlinear mean-field network. This system has the property that the dynamics of the mean of the solution exactly satisfies an ODE. This reduction allows to show that in the mean-field limit and in multiple populations with multiple timescales, noise induces canard explosions and Mixed-Mode Oscillations on the mean of the solution. This sheds new light on the qualitative effects of noise and sensitivity to precise noise values in large stochastic networks. We further investigate finite-sized networks and show that systematic differences with the mean-field limits arise in bistable regimes (where random switches between different attractors occur) or in mixed-mode oscillations, were the finite-size effects induce early jumps due to the sensitivity of the attractor.

研究の動機と目的

• 大規模な確率的ニューラルネットワークに於けるノイズが集団的ダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 確率的係数を有するネットワークの厳密な平均場極限を確立し、古典的平均場理論を拡張すること。
• 平均場状態においてノイズを含むウィルソン＝コーアンモデルを分析し、ノイズ誘発の分岐および複雑な振動を明らかにすること。
• 二安定状態の領域およびミックスドモード振動における有限サイズ効果を特定し、特にノイズが早期の遷移を誘発する役割を同定すること。
• ノイズが単なる摂動ではなく、大規模神経系における定性的なダイナミクス的遷移の主要因であることを示すこと。

提案手法

• 複数の時定数と非線形平均場相互作用を有する一般クラスの大規模確率的ネットワークの平均場極限を導出する。
• 2つの集団を含むウィルソン＝コーアン系にそのフレームワークを適用し、平均活性の閉形式ODEを導出する。
• ノイズのレベルが平均場ODEの有効非線形性に埋め込まれており、それによって修正されたウィルソン＝コーオン系に変換されることを示す。
• 力学系理論を用いて得られたODEを解析し、分岐解析によりカナード解およびミックスドモード振動を同定する。
• パスワイズおよびフラクチュエーションに基づく手法を用い、特に二安定および周期的領域において、平均場予測と有限サイズネットワークシミュレーションを比較する。
• アマル＝ホプフィールド型などの他のモデルへも分析を拡張し、ガウス平均場近似を用いて同様のノイズ依存ダイナミクスを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズは、複数の時定数を持つ大規模な確率的ニューラルネットワークにおいて、カナード爆発およびミックスドモード振動を誘発できるか？
• RQ2 ネットワークが大きく非線形に結合されている場合、ノイズは平均場ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 ノイズは神経マスモデルにおける定常的および周期的行動の間の定性的な遷移をどのように生成するか？
• RQ4 有限サイズ効果は、二安定状態領域およびミックスドモード振動において、平均場極限と比較してダイナミクスをどのように変化させるか？
• RQ5 複数の時定数を持つ大規模確率的系において、ノイズ誘発分岐を厳密に特徴づけることは可能か？

主な発見

• ノイズは、非小規模なノイズレベルでさえも、大規模な確率的ネットワークの平均場極限においてカナード爆発およびミックスドモード振動を誘発する。
• ネットワークの平均活性は、ノイズが有効非線形性に埋め込まれた修正されたウィルソン＝コーオン方程式に従う決定的ODEを満たす。
• 小さなホフ型振動からリラクゼーション振動への遷移は、カナード周期を経由して発生し、遷移領域の幅は時定数の分離パラメータに関して指数的に小さくなる。
• 二安定状態領域では、有限サイズ効果によりアトラクタ間の体系的かつ規則的なスイッチングが生じ、確率的ダイナミクスにおけるノイズ誘発の規則性を示唆する。
• 平均場極限は、ノイズのない決定的ケースに存在しない複雑な周期的パターンを捉えているため、ノイズがダイナミクスの駆動要因であることが示される。
• 結果は、平均場方程式が同様のノイズ依存遷移と複雑な挙動を示すアマル＝ホプフィールド系など、他のモデルへも拡張可能である。