[論文レビュー] Nombre de classes des tores de multiplication complexe et bornes inferieures pour orbites Galoisiennes de points speciaux

Emmanuel Ullmo, Andrei Yafaev|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、代数的トーラスの類数推定と再帰性写像の像を用いて、シュミューラ多様体内の特別点のガロア軌道のサイズに対する明示的な下界を確立する。一般リーマン予想（GRH）のもとで、特に次元 g ≤ 3 またはガロア一般的点の場合、CMアーベル多様体内の特別点のガロア軌道サイズに対して強い不変下界を提供する。準判別式とアーティンL関数の推定値を用いて再帰性写像の余核を制御することで実現される。

ABSTRACT

We establish a Brauer-Siegel type formula for class numbers of CM tori. We deduce lower bounds for Galois orbits of certain Shimura varieties.

研究の動機と目的

• シュミューラ多様体内の特別点のガロア軌道サイズに対する有効な下界を導出すること。これはアンドレ＝オールポート予想の鍵となる要素である。
• ジョナサン・ピラの非可縮性に基づくアプローチに不十分であった既存の下界を改善すること。
• CM点に関連するトーラスの類群間の再帰性写像の像を分析し、特に余核に注目して軌道サイズを制御すること。
• 再帰性写像の核が連結である条件を確立し、有利な場合に不変下界を得ることを可能にすること。
• 準判別式とアーティンL関数の留数を用いて、明示的かつ計算可能なガロア軌道サイズの下界を確立すること。

提案手法

• 有理数体上の代数的トーラスに対する一般化類数公式を用い、類数 h_T をアーティンL関数の留数 ρ_T と準判別式 D_T に関連付ける。
• 準判別式 D_T をトーラス T のアデール的点上のハール測度の比として定義し、アーティンの導手 a(T) とネロンモデルの連結成分群の位数を用いて閉形式の式を得る。
• CM体における分割素数の数に対する有効な下界を、チホタレフ密度定理とGRHを用いて推定し、再帰性写像の像のサイズを推定する。
• 特別点のガロア軌道のサイズと、類群への誘導写像 h_{R_E} → h_T の像の濃度との間の関係を確立する。
• ネロンモデルの構造とその成分群を用いて再帰性写像の核を分析し、特に g ≤ 3 またはガロア一般的点の場合に核が連結であることを証明する。
• トーラスに対するブラウアー＝シーゲル型定理を用い、類数 h_T を準判別式 D_T とアーティンL関数の留数 ρ_T に関連付ける。GRHのもとで有効な下界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュミューラ多様体内の特別点のガロア軌道サイズに対する最適な下界は何か。特に次元 g ≤ 3 のCMアーベル多様体の場合に焦点を当てる。
• RQ2 再帰性写像の核が連結となる条件は何か。これによりガロア軌道サイズに対する不変下界が得られる。
• RQ3 核が連結でない場合に、類群上の再帰性写像の余核をどのように有効に制御できるか。
• RQ4 トーラス T の準判別式 D_T とアーティンL関数の留数 ρ_T の関係は何か。この関係を用いて類数をどのように制御できるか。
• RQ5 ガロア軌道サイズに対する有効な下界は不変で得られるか。それともGRHに依存するのか。

主な発見

• GRHのもとで、シュミューラ多様体内の特別点 x のガロア軌道サイズに対する下界を確立した。この下界は、反射体 L の判別式 D_L とアーティンL関数の留数 ρ_T に依存する。
• 再帰性写像の核が連結であるトーラス T（例：g ≤ 3 または x がガロア一般的）の場合、下界は不変であり、明示的な定数 c_1, c_2 > 0 を用いて c_1 * D_L^{c_2} の形で与えられる。
• 準判別式 D_T は、アーティンの導手 a(T) とネロンモデルの成分群の位数を含む比として閉形式で表される。
• 本稿は、CM体 L において完全に分割する素数の個数 π_L(x) が、GRHのもとで x ≥ c_1 * log(D_L)^2 * (log log D_L)^4 のとき、π_L(x) ≥ c_2 * x / log(x) を満たすことを証明した。
• GRHのもとで有効なチホタレフ推定値を用いて、類群上の再帰性写像の余核を制御し、像のサイズに対する下界を導出し、これがガロア軌道サイズを制御することに寄与する。
• 結果は定性的に最適であり、ピラの非可縮性に基づくアンドレ＝オールポート予想への応用に十分であると予想される。