[論文レビュー] Non-abelian real Hodge theory for proper varieties

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな複素多様体の再帰的代数的ホモトピー型に、Simpsonの再帰的基本群族への$U(1)$作用を拡張して$Χ^*$作用を定義することにより、非アーベルな実Hodge構造を確立する。これにより、スキーム的ホモトピー型に実解析的$Χ^*$作用が得られ、コンパクト複素多様体のホモトピー型に自然な実Hodge構造が存在することが示され、有限性条件下で複素化されたホモトピー群に双次数分解が得られる。

ABSTRACT

We show that if X is any proper complex variety, there is a weight decomposition on the real schematic homotopy type, in the form of an algebraic G_m-action. This extends to a real Hodge structure, in the form of a discrete C^*-action, such that C^* x X -> X^{sch} is real analytic. If the fundamental group is algebraically good, and the higher homotopy groups have finite rank, this gives bigraded decompositions on the complexified homotopy groups. For smooth proper varieties, the Hodge structure can be recovered from the cohomology ring with coefficients in the universal semisimple local system.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体の再帰的基本群族へのSimpsonの$U(1)$作用を、コンパクト複素多様体のプロ代数的ホモトピー型への完全な$Χ^*$作用に拡張すること。
• コンパクト複素多様体のスキーム的ホモトピー型に非可換実Hodge構造を定義し、古典的Hodge理論を非可換設定に一般化すること。
• 代数的良さと有限ランクの仮定の下で、複素化されたホモトピー群に双次数分解を確立すること。
• 単体的解体とコhomological降下を用いて、滑らかでコンパクトな多様体から、特異なコンパクト多様体へのHodge構造の拡張を実現すること。

提案手法

• 基本群族のMalcev完備化を用いて定義される、プロ代数的ホモトピー型$G(X)^{\mathrm{alg}}$を基礎対象として用いる。
• Simpsonの研究から得られる$U(1)$作用を拡張し、$G(X)^{\mathrm{alg}}(\mathbb{R})$に実解析的かつ再帰的商と整合する$Χ^*$作用を構成する。
• 滑らかでコンパクトな多様体による単体的解体$X_\bullet \to X$を用いてコhomological降下を適用し、特異なコンパクト多様体へのHodge構造の拡張を実現する。
• 普遍的半単純局所系と調和形式の形式的枠組みを用い、コhomologyに$Χ^*$作用を定義し、これによりホモトピー型への構造を誘導する。
• Čechコhomロジー複体とde Rhamコホモロジー複体の準同型を用いて、Hodge構造と調和代表元および$\diamond$作用を関連付ける。
• $\mathbb{G}_m$-重み分解と$S$作用を用い、ノルム化された再帰的基本群族$\varpi_f(X)^{\mathrm{red},\mathrm{norm}}$上に自然な実Hodge構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体のプロ代数的ホモトピー型へのSimpsonの$U(1)$作用は、完全な$Χ^*$作用に拡張可能か？
• RQ2 滑らかでコンパクトな多様体のホモトピー型に存在する実Hodge構造は、解体技術を用いて特異なコンパクト多様体へ拡張可能か？
• RQ3 有限性条件下で、$Χ^*$作用から複素化されたホモトピー群に双次数分解がどのように生じるか？
• RQ4 コhomological降下と半単純局所系は、スキーム的ホモトピー型への$Χ^*$作用の構成においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 $Χ^*$作用は、コhomologyにおける古典的Hodge構造および$dd^c$-補題とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のコンパクト複素多様体$X$のプロ代数的ホモトピー型$G(X)^{\mathrm{alg}}$には、自然な実Hodge構造が存在し、これは$G(X)^{\mathrm{alg}}(\mathbb{R})$への実解析的$Χ^*$作用として実現される。
• 滑らかでコンパクトな多様体の場合、ホモトピー型へのHodge構造は、普遍的半単純局所系を係数とするコホモロジー環から回復可能である。
• $\pi_1(X,x)$が代数的に良いことと、高次のホモトピー群が有限ランクであることの仮定の下で、複素化されたホモトピー群$\pi_n(X,x) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}$は$Χ^*$作用によって誘導される双次数分解を持つ。
• 単体的解体$X_\bullet \to X$におけるコhomological降下を用いて、再帰的基本群族への$S$作用が、ホモトピー型全体へ拡張され、面写像および退化写像と整合性を保つ。
• ホモトピー型における重み分解は$\mathbb{G}_m$作用によって実現され、コホモロジー群$H^n(X_m, a_n^{-1}\mathbb{O}(\mathbb{B}_h))$は重み$n$が割り当てられる。
• この構成は函手的であり、$G(X) \to G(X)^{\mathrm{alg}}(\mathbb{R})$の随伴と整合的であり、ホモトピー型に自然な$Χ^*$-不変構造を定義可能である。