[論文レビュー] Non-Additive Prolegomena (to any future Arithmetic that will be able to present itself as a Geometry)

Shai Haran|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、環圏と${\mathbb{F}}_1$-幾何を用いて、数論における基礎的問題、例えば実素数、算術平面、絶対点を解決する非加法的幾何的枠組みを提案する。完成したコホロロジー列を導入し、関数のメリン変換とリーマン・ゼータ関数の非自明な零点を結びつける除数上の交線型形式を仮説として提示する。これは幾何的リーマン・ローチを介してリーマン予想を示唆する可能性を有する。

ABSTRACT

We give a language for geometry which makes curves and number fields look alike.

研究の動機と目的

• 算術と幾何の間の基礎的不整合を解消するため、環圏と${\mathbb{F}}_1$-幾何に基づく加法的でない乗法的枠組みに、加法的構造を置き換えること。
• 3つの核心的問題に取り組む：実素数$\eta$、算術平面$\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$の崩壊、および欠落している絶対点$\operatorname{Spec}({\mathbb{F}}_1)$。
• $\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$の完成したコホロロジー列を構成し、除数群$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$を用いて有限素数とアーキメデス的素数を統合すること。
• 除数上の交線型形式を仮説として提示し、関数空間$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$のメリン変換を通じてリーマン・ゼータ関数の非自明な零点を符号化すること。

提案手法

• 環圏を、二つの対称モノイド構造（$\oplus$, $\otimes$）を持つ圏として定義し、$\otimes$が$\oplus$に分配的であるものとし、${\mathbb{F}}_1$を初期対象とする。
• 除数群$\operatorname{Div}(\mathcal{X}) \cong \bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$を構成し、有限素数とアーキメデス的素数を統合する。
• 完成したコホロロジー列を導入：$\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\}$。
• コンパクト台付きで区分的滑らかく、制御された減衰を示す$\mathbb{R}^+$上の関数空間$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$を定義し、Frölicher写像$Fr: \mathcal{W}(\mathbb{R}^+) \to \operatorname{Div}(\mathcal{X})$を導入する。
• メリン変換を用いた交線型形式を提案：$(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$。
• Frが$\mathbb{Z}$-線形であり、畳み込みと双対性を保存すると仮説する：$Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$および$Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$、ここで$f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環圏と${\mathbb{F}}_1$-幾何に基づく非加法的幾何的枠組みは、算術と幾何の間の基礎的不整合を解消できるか？
• RQ2 $\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$の完成したコホロロジー列は、除数群$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$を用いて有限素数とアーキメデス的素数を正しく符号化しているか？
• RQ3 関数空間$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$の関数のメリン変換を用いて、$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$上の交線型形式を構成し、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点を検出できるか？
• RQ4 関数空間$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$から$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$へのFrölicher写像$Fr$は畳み込みと双対性と両立するか？また、除数乗法の代数的構造を保存するか？
• RQ5 関数$f \in \mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$が$\xi(s)$の非自明な零点を局所化するようなものが存在するならば、Castelnuovo-Severiの不等式と$\mathcal{X}$におけるリーマン・ローチを介してリーマン予想が示唆されるか？

主な発見

• $\operatorname{Div}(\mathcal{X})$は$\bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$に同型であり、有限素数とアーキメデス的素数を一つの幾何的対象に統合する。
• 完成したコホロロジー列$\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\}$が成立する。
• 除数$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$上の交線型形式は、$(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$と予想され、ここで$\hat{f}$はメリン変換である。
• Frölicher写像$Fr$は$\mathbb{Z}$-線形であり、畳み込みと双対性を保存すると仮説される：$Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$および$Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$、ここで$f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$。
• 関数空間$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$に、$\sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}(\alpha) \overline{\hat{f}(1-\bar{\alpha})} < 0$を満たす関数$f$が存在するならば、Castelnuovo-Severiの不等式からリーマン予想が導かれる。
• この枠組み全体は、基本関数の畳み込みと双対の$\mathbb{Z}$-線形結合によって、すべてのこのような関数を生成できると予想される。ここで$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$は、$\sum_{i,j} m_{i,j} f_{i_1} * \cdots * f_{i_k} * f_{j_1}^\natural * \cdots * f_{j_l}^\natural$の$\mathbb{Z}$-線形包である。