[論文レビュー] Non-Archimedean analytic cyclic homology

Guillermo Cortiñas⋆, Ralf Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、分数体が0の特性をもつ完備離散付値環 V 上の完備で torsion-free な bornological 代数に対して、非アルキメデス的解析的循環ホモロジーを導入する。ホモトピー不変性、安定性、切除、およびべき零不変性を確立し、滑らかで1次元の V-代数のダガー完備化の解析的循環ホモロジーが de Rham コホモロジーと一致することを示す。これは、残留体の特性が正のとき、ベルトロの剛体コホモロジーと一致する。

ABSTRACT

Let $V$ be a complete discrete valuation ring with fraction field $F$ of characteristic zero and with residue field $\mathbb{F}$. We introduce analytic cyclic homology of complete torsion-free bornological algebras over $V$. We prove that it is homotopy invariant, stable, invariant under certain nilpotent extensions, and satisfies excision. We use these properties to compute it for tensor products with dagger completions of Leavitt path algebras. If $R$ is a smooth commutative $V$-algebra of relative dimension $1$, then we identify its analytic cyclic homology with Berthelot's rigid cohomology of $R\otimes_{V}\mathbb{F}$.

研究の動機と目的

• 完備で torsion-free な bornological 代数について、分数体が0の特性をもつ完備離散付値環 V 上の循環ホモロジー理論を構築すること。
• ホモトピー不変性、安定性、切除、および解析的にべき零な拡張に関しての不変性といった基礎的性質を確立すること。
• 可算グラフのルビットおよびコーンパス代数のダガー完備化の循環ホモロジーを計算すること。
• 滑らかで1次元の V-代数のダガー完備化の解析的循環ホモロジーを de Rham コホモロジーと同定し、残留体の特性が正のときベルトロの剛体コホモロジーと一致することを示すこと。
• 任意のリフトの選択に依存しない形で、F に降下する理論を構築することで、残留体上での非可換コホモロジー理論の基礎を築くこと。

提案手法

• R に付随する完全な bornological V-代数の射影系 T R を用い、T R ⊗V F の X-複体のホモトピー極限として、解析的循環プロ複体 HA(R) を定義する。
• 理想 (π) に関するダガー完備化を用いて、有限生成 V-代数 R に対して R† などの代数を定義する。
• 解析的にべき零な拡張および解析的に擬自由なプロ代数の概念を導入し、ホモトピー不変性を一般化する。
• V[t]† を用いてダガーホモトピーを定義し、HA がこのようなホモトピーに関して不変であることを証明する。これにより、解析的にべき零な拡張に関する不変性が従う。
• 半分割プロ代数拡張について切除定理を証明し、ホモロジーにおいて自然な6項完全列を得る。
• 相対次元1の滑らかで有限生成かつ可換な V-代数に理論を適用し、その擬自由性と de Rham コホモロジーとの関係を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数体が0の特性をもつ完備離散付値環 V 上の非アルキメデス的設定において、解析的循環ホモロジーをどのように拡張できるか。
• RQ2 この新しい理論のホモトープ的およびホモロジー的性質は何か。たとえば、ホモトピーに関しての不変性や切除性。
• RQ3 この理論は、パス代数および V[t,t⁻¹]† とのテンソル積のダガー完備化の循環ホモロジーを計算できるか。
• RQ4 滑らかで1次元の V-代数のダガー完備化の解析的循環ホモロジーは、de Rham コホモロジーと一致するか。
• RQ5 残留体の特性が正のとき、この理論は滑らかなアフィン曲線に対してベルトロの剛体コホモロジーを回復するか。

主な発見

• 解析的循環ホモロジー HA∗(R) はダガーホモトピーおよび解析的にべき零な拡張に関して不変であり、半分割拡張について切除を満たす。
• 相対次元1の滑らかで有限生成かつ可換な V-代数 R に対して、HA∗(R†) は R† の de Rham コホモロジーと自然に同型である。
• 残留体 F が正の特性をもつとき、この同型は A = R/πR の還元に対してベルトロの剛体コホモロジー H∗_rig(A,F) と一致する。
• R† ⊗V V[t,t⁻¹]† の解析的循環ホモロジーは、HA∗(R) ⊕ HA∗(R)[1] に同型であり、K-理論における基本定理の非可換類似である。
• 任意の還元 A = R/πR に対して、HA∗(A) ≅ HA∗(R†) なる標準的かつ選択に依存しない同型が得られ、剛体コホモロジーの非可換拡張が可能になる。
• 可算グラフのルビットおよびコーンパス代数のダガー完備化の解析的循環ホモロジーは、不変性および切除性の性質を用いて計算される。