[論文レビュー] Non-Archimedean Probability

Vieri Benci, Leon Horsten+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非アーベル体を用いて無限の標本空間のすべての部分集合、特に公平なロトの単一要素に確率を割り当てる、非アーベル確率（NAP）という新しい確率枠組みを導入する。可算加法性の代わりに$Λ$-極限に基づく新しい無限加法性を採用することで、古典的確率論におけるパラドックス（たとえば、公平な無限ロトにおける確率がゼロとなる事象）を解消し、有限の条件付き確率を保持するとともに、個々の結果に無限小確率を直接割り当てることが可能になる。

ABSTRACT

We propose an alternative approach to probability theory closely related to the framework of numerosity theory: non-Archimedean probability (NAP). In our approach, unlike in classical probability theory, all subsets of an infinite sample space are measurable and zero- and unit-probability events pose no particular epistemological problems. We use a non-Archimedean field as the range of the probability function. As a result, the property of countable additivity in Kolmogorov's axiomatization of probability is replaced by a different type of infinite additivity.

研究の動機と目的

• 無限標本空間に適用された古典的確率論における基礎的問題、たとえば$\mathbb{N}$上の公平なロトにおいて個々の結果に非ゼロ確率を割り当てられないという問題を解決すること。
• 有限と無限の両方の標本空間を一様に扱う確率論を構築し、コルモゴロフの枠組みにおけるゼロ確率事象の認識論的問題を回避すること。
• デ・フィネッティの有限加法性やネルソンの超有限モデルに対する数学的に整合的な代替案を提供すること。非アーベル体と新しい極限概念（$\Lambda$-極限）を用いる。
• 無限確率的状況において無限小確率が中間的な道具ではなく、最終的で意味のある値として扱えることを示すこと。

提案手法

• 確率関数の値域として非アーベル体を用いる新しい公理系を提案。コルモゴロフの可算加法性の代わりに、$Λ$-極限を用いた無限加法性の形式を導入する。
• 有限近似の有向集合$\Lambda$を用いてNAP空間を構成。事象の確率は、これらの近似における相対頻度の$\Lambda$-極限として定義される。
• $\Lambda$-極限を標準的極限の一般化として定義。インデックス集合上の細かいイデアルを用いて、非アーベル体内での収束を保証する。
• 数の大きさ（numerocity）の概念を用いて、無限集合内の部分集合のサイズに比例する確率を割り当て、$\mathbb{N}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$における公平なロトを保証する。
• 無限回の公平なコイントスにこの枠組みを適用。シリンダーセットを定義し、$\Lambda_{CT}$-極限構成を用いてその確率が$2^{-n}$であることを示す。
• 特定のNAPモデルを構築。$\left(\{H,T\}^\mathbb{N}, 1, I_{\Lambda_{CT}}\right)$ として、$\Lambda_{CT}$は無限列への有限近似の有向集合である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数$\mathbb{N}$上の公平なロトにおいて、すべての個々の結果に非ゼロ確率を割り当てられる確率論を構築できるか。これにより、ゼロ確率事象のパラドックスが解消されるか。
• RQ2 無限加法性を再定義することは可能か。有限加法性の直感的挙動を保ちつつ、非可算標本空間にも適用可能であるようにするには。
• RQ3 標本空間が無限であっても、測度論的ゼロ集合に依存せずに、有限事象の条件付き確率を定義できるか。
• RQ4 無限確率的モデルにおいて、無限小確率を近似値ではなく、最終的な答えとして扱えるか。
• RQ5 $\Lambda$-極限構成は、確率論における標準的極限の整合的で直感的な一般化を提供するか。

主な発見

• NAP枠組みでは、無限回の公平なコイントスにおける任意のシリンダーセットに確率$2^{-n}$が割り当てられ、古典的結果と一致するが、非アーベル極限から導出される。
• 自然数$\mathbb{N}$上の公平なロトにおいて、NAPは各単一要素に無限小確率$\frac{1}{\mathfrak{n}(\mathbb{N})}$を割り当てる。ここで$\mathfrak{n}(\mathbb{N})$は$\mathbb{N}$の数の大きさであり、すべての結果が等確率であることを保証する。
• $\left(\{H,T\}^\mathbb{N}, 1, I_{\Lambda_{CT}}\right)$を用いて構築されたNAPモデルは、$P\left(C_{(t_1,...,t_n)}^{(i_1,...,i_n)}\right) = 2^{-n}$を満たし、古典的期待と整合的であることを確認する。
• $\Lambda$-極限構成により、無限標本空間のすべての部分集合が可測であることが保証され、非可測集合がパラドックスの原因となるのを排除する。
• 理論は、無限小確率が認識論的に整合的であり、近似値ではなく直接解釈可能な最終値として扱えることを確立する。
• 非アーベル無限小を用いることで、デ・フィネッティのロトパラドックスが解消され、$\mathbb{N}$上で一様で非ゼロの確率分布が可能になる。