[論文レビュー] Non-commutative Discretize-then-Optimize Algorithms for Elliptic PDE-Constrained Optimal Control Problems

Jun Liu, Zhu Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、楕円型PDE制約付き最適制御問題における非可換離散化・次に最適化（DO）スキームの収束性を回復する正則化手法を提案する。$H^1$半ノルムペナルティ項を導入することで、離散化と最適化が可換でない場合でも最適収束性を保証し、2次および4次精度の有限差分スキームを用いた数値実験により、精度と安定性が確認された。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the convergence of several discretize-then-optimize algorithms, based on either a second-order or a fourth-order finite difference discretization, for solving elliptic PDE-constrained optimization or optimal control problems. To ensure the convergence of a discretize-then-optimize algorithm, one well-accepted criterion is to choose or redesign the discretization scheme such that the resultant discretize-then-optimize algorithm commutes with the corresponding optimize-then-discretize algorithm. In other words, both types of algorithms would give rise to exactly the same discrete optimality system. However, such an approach is not trivial. In this work, by investigating a simple distributed elliptic optimal control problem, we first show that enforcing such a stringent condition of commutative property is only sufficient but not necessary for achieving the desired convergence. We then propose to add some suitable $H_1$ semi-norm penalty/regularization terms to recover the lost convergence due to the inconsistency caused by the loss of commutativity. Numerical experiments are carried out to verify our theoretical analysis and also validate the effectiveness of our proposed regularization techniques.

研究の動機と目的

• 離散化と最適化が可換でない場合に生じるDO法における収束性の欠如を解消すること。
• 離散化と最適化の厳密な可換性を要件としない正則化手法を構築すること。
• $H^1$半ノルム正則化が高次有限差分スキームにおける最適収束率を保持することを検証すること。
• 非可換性が存在する状況下でも、状態および制御の近似において2次および4次精度を維持できることを示すこと。
• 連続的な最適性条件を解析的に導出することが困難な状況において、最適化後に離散化（OD）手法の代替として強固な手法を提供すること。

提案手法

• 非可換DOスキームの安定化と収束性回復のため、$H^1$半ノルム正則化項を導入する。
• 状態および制御変数に2次および4次精度の有限差分離散化を適用し、随伴変数に対しても一貫した取り扱いを実施する。
• 離散的最適制御定式化における数値積分に、台形則およびシンプソン則を用いる。
• 制御および状態方程式に安定化パrameter $\gamma$ を導入することで、正則化された離散的最適性系を導出する。
• 行列の可換性（例：$F_h R_h = R_h F_h$）を用いて、特定の条件下で正則化DOスキームとODスキームが等価であることを示す。
• 理論的誤差解析と、解析解が既知のモデル問題に対する数値実験を通じて収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適化後に離散化（OD）手法の厳密な可換性を仮定せず、非可換離散化・次に最適化（DO）スキームの収束性を回復できるか？
• RQ2 離散化と最適化が可換でない場合に、DOスキームで2次および4次精度を確保する正則化戦略は何か？
• RQ3 $H^1$半ノルムペナルティ項は、高次精度有限差分スキームにおける状態、制御、および随伴変数の収束性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 離散的随伴状態 $p_h$ が正確な随伴状態 $p = \alpha u$ に収束しない場合でも、本手法が最適収束率を維持できるか？
• RQ5 本正則化手法は、複雑な制約条件や高次離散化を伴う一般のPDE制約付き最適制御問題に適用可能か？

主な発見

• 提案された $H^1$正則化手法により、非可換なDOスキーム（23）においても2次収束性が回復された。
• 4次精度DOスキーム（24）は、理論的解析および数値結果により、状態および制御の近似において4次精度を達成した。
• 正則化が施されたにもかかわらず、離散的随伴状態 $p_h$ は正確な随伴状態 $p = \alpha u$ に収束しないが、これは状態および制御変数の収束性に影響しない。
• 正則化DOスキームは、$F_h$ と $R_h$ が可換である場合、対応するODスキームと同一の離散的最適性系を生成し、一貫性を保った。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、制御近似における不自然な振動の抑制が示された。
• 連続的KKT系の解析的導出が困難な問題において、OD手法の有効な代替手段を提供する。