[論文レビュー] Non-euclidean shadows of classical projective theorems

Rubén Vigara|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

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ひとこと要約

本稿は、ケイリー＝クラインモデルを用いた射影的枠組みを導入し、古典的射影定理の非ユークリッド的解釈を明らかにする。具体的には、垂心の共点性や双曲的・楕円的幾何における一般化された三角形の重心といった結果が、単一の射影定理の「影」として現れることを示している。また、レイの角度を扱うために修正されたラグレールの公式を提案し、オイラー＝ワイルドバーガー線を、円錐曲線における交比不変性によって、双曲的・楕円的・ユークリッド的幾何すべてに適用可能な非ユークリッド的オイラー線の類似物として確立している。

ABSTRACT

Some translations into non-euclidean geometry of classical theorems of planar projective geometry are explored. The existence of some common triangle centers is dedeuced from theorems of Pascal and Chasles. Desargues' Theorem allows to construct a non-euclidean version of the Euler line and the nine-point circle of a triangle. The whole non-euclidean trigonometry (for triangles and generalizaed triangles) can be deduced from Menelaus' Theorem. A theorem of Carnot about affine triangles implies the non-euclidean versions of another theorem of Carnot about euclidean triangles. Finally, it is given the projective theorem which is hidden behind all the laws of cosines of non-euclidean triangles and generalized triangles.

研究の動機と目的

• ケイリー＝クラインモデルを活用することで、射影幾何学を用いてユークリッド的・双曲的・楕円的幾何学を統一的に扱うことを目的とする。
• 三角形や円錐曲線に関する古典的射影定理が、異なる幾何において複数の非ユークリッド的定理として「影」として現れることを示すことを目的とする。
• 絶対円錐曲線Φに関する極性と射影不変量を用いて、非ユークリッド的状況における重要な三角形の重心やオイラー線を再定義することを目的とする。
• 鋭角と鈍角を区別できるように、古典的ラグレールの公式の限界を是正する射影的公式を、レイの間隔の角度に関して開発することを目的とする。

提案手法

• 双曲的および楕円的幾何を、測地線が直線として表現されるケイリー＝クラインモデルを用い、接続関係の性質の可視化を可能にする。
• 絶対円錐曲線Φを用いた修正ラグレールの公式により、円錐曲線上の4点の交比不変性を応用し、レイの間隔の角度を定義する。
• シュタイナーの定理と射影的双対性を用い、円錐曲線上の4点の交比を、その円錐曲線上の固定点から引かれた直線の交比として定義する。
• 絶対円錐曲線Φに関する射影的三角形とその極三角形の交点として「一般化された三角形」の概念を導入する。
• 一般化された三角形における射影的不変量と中点構造を用いて、非ユークリッド的正弦および余弦の法則を導出する。
• オイラー＝ワイルドバーガー線を、射影的に垂心、外心、擬似重心を用いて定義し、非ユークリッド的オイラー線の類似物とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形や円錐曲線に関する古典的射影定理は、どのように双曲的および楕円的幾何において非ユークリッド的定理として解釈されるか？
• RQ2 球面三角形および双曲的三角形における垂線の共点性の背後にある射影的不変量は何か？
• RQ3 非ユークリッド幾何におけるレイの間隔の角度は、絶対円錐曲線における射影的交比を用いてどのように一貫して測定可能か？
• RQ4 非ユークリッド的オイラー線および九点円の類似物は何か、そして射影幾何学を用いてどのように定義されるか？
• RQ5 一般化された三角形（例：直角六角形、ラムベルト四角形）は、どのようにして射影定理から三角法的法則を継承するか？

主な発見

• シャスルの極三角形定理は、3つの異なる非ユークリッド的結果を生じる：球面三角形における垂線の共点性、および双曲的三角形における3つの異なる共点性／平行性のタイプ。
• 修正ラグレールの公式（A.1）は、[0, 2π) の値をとるレイの角度を計算でき、式（A.2）における余弦の符号によって鋭角と鈍角を区別する。
• オイラー＝ワイルドバーガー線（ orthoaxis として定義）は、非ユークリッド的オイラー線の類似物として機能し、垂心、擬似外心、および擬似重心がこの直線上に共線する。
• 九点円の非ユークリッド的類似物たる九点円錐曲線は、一般化された三角形において、辺の中点、垂線の足、および垂心から頂点への線分の中点を通る。
• 一般化された三角形（例：双曲的直角六角形）は、射影的不変量と中点構造から導かれる非ユークリッド的正弦および余弦の法則を満たす。
• 円錐曲線上の4点の交比は、その円錐曲線上の任意の点から射影された際に不変であり、異なる幾何において一貫した三角不変量を定義可能である。