[論文レビュー] Non intrusive method for parametric model order reduction using a bi-calibrated interpolation on the Grassmann manifold

Mourad Oulghelou, Cyrille Allery|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バイキャリブレーション補間を用いて、グラスマン多様体上でのプロパー直交分解（POD）空間的・時間的基底を補間する非侵襲的パrametricモデル低次元化手法であるBi-CITSGMを提案する。ITSGMを用いた接空間補間と、2つの解析的最適化に基づくキャリブレーション行列を組み合わせることで、訓練済みでないレイノルズ数に対しても高精度なROMを実現し、リアルタイムの計算効率を達成する。

ABSTRACT

Approximating solutions of non-linear parametrized physical problems by interpolation presents a major challenge in terms of accuracy. In fact, pointwise interpolation of such solutions is rarely efficient and leads generally to incorrect results. However, instead of using a straight forward interpolation on solutions, reduced order models can be interpolated. More particularly, Amsallem and Farhat proposed an efficient POD reduced order model interpolation technique based on differential geometry tools. This approach, named in this paper ITSGM (Interpolation On a Tangent Space of the Grassmann Manifold), allows through the passage to the tangent space of the Grassmann manifold, to approximate accurately the reduced order basis associated to a new untrained parameter. This basis is used afterwards to build the interpolated ROM describing the temporal dynamics by performing the Galerkin projection on the high fidelity model. Such Galerkin ROMs require to access to the underlying high fidelity model, leading by that to intrusive ROMs. In this paper, and contrary to the ITSGM/Galerkin approach, we propose a non-intrusive reduced order modeling method which is independent of the governing equations. This method is named through this paper Bi-CITSGM (Bi-Calibrated ITSGM). It consists first to interpolate the spatial and temporal POD sampling bases considered as representatives of points on Grassmann manifolds, by the ITSGM method. Then, the resulting bases modes are reclassified by introducing two orthogonal matrices. These calibration matrices are determined as analytical solutions of two optimization problems. Results on the flow problem past a circular cylinder where the parameter of interpolation is the Reynolds number, show that for new untrained Reynolds number values, the developed approach produces satisfyingly accurate solutions in a real computational time.

研究の動機と目的

• パrameter空間全体で非線形PDEを解く際の高い計算コストに対処すること、特に高精度モデルの再計算が高価である場合に特に有効である。
• 支配方程式へのアクセスを必要とする侵襲的低次元モデル（ROM）の限界を克服すること。実験的またはブラックボックスデータには適用できない。
• 高精度モデルへのアクセスを必要とせず、POD基底をグラスマン多様体上で補間することで、精度と効率を保った非侵襲的ROMフレームワークを構築すること。
• 直交行列を用いた解析的最適化問題から得られる2つのキャリブレーション手順を導入し、補間された基底の精度を向上させること。
• 複雑な流れ問題における、未訓練のパrameter値（例：レイノルズ数）に対して、リアルタイムで正確な解予測を可能にすること。

提案手法

• 空間的・時間的POD基底（グラスマン多様体上の点とみなす）を、ITSGM（グラスマン多様体の接空間上での補間）を用いて補間し、測地線路を計算する。
• 補間された基底を基準点における接空間にマップし、初期速度の線形補間を実行する。
• 補間された接ベクトルを指数写像により再構築することで、基底がグラスマン多様体上に留まるように保証する。
• 2つの解析的最適化問題の解として得られる直交キャリブレーション行列を導入し、補間された基底の精度を向上させる。
• 高精度モデルの内部構造を必要とせず、その動的挙動を投影することで非侵襲的ROMを構築する。
• キャリブレーションされた基底を用いてガレルキン射影により全解を再構築し、新しいパrameter値に対して高速かつ正確なシミュレーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配方程式へのアクセスを必要とせず、パrameter空間全体で低次元基底を正確に補間できる非侵襲的ROMを構築できるか？
• RQ2 直交行列を用いたバイキャリブレーションは、標準的なITSGMと比較して、グラスマン多様体上でのPOD基底補間の精度をどの程度向上させるか？
• RQ3 本稿で提案するBi-CITSGM手法は、流れシミュレーションにおける未訓練のレイノルズ数に対し、精度と計算効率をどの程度維持できるか？
• RQ4 空間的および時間的PODモードをグラスマン多様体上で補間することで、非線形パrametric問題に対して安定的かつ正確な非侵襲的ROMを実現できるか？
• RQ5 パrametric流れ問題において、従来の侵襲的ROMや他の非侵襲的手法と比較して、Bi-CITSGMの計算パフォーマンスはどの程度向上するか？

主な発見

• Bi-CITSGM手法は、円形シリンダー周囲の流れにおいて、未訓練のレイノルズ数に対して高精度な解予測を達成し、高精度シミュレーションと密接に一致する結果を得た。
• バイキャリブレーションプロセスにより、基底のずれを最小限に抑えることで、補間精度が顕著に向上し、再構築解における投影誤差が低減された。
• リアルタイムの解予測が可能であり、新しいパrameter値に対して計算時間が数秒で測定されたため、オンライン応用に適している。
• Bi-CITSGMの非侵襲的性質により、未知またはアクセス不可能な支配PDEを有する実験的またはブラックボックスデータにも応用可能である。
• 接空間へのマッピングを伴うグラスマン多様体補間により、パrameter変動に伴う基底補間の幾何学的整合性と安定性が保証された。
• 2つのキャリブレーション行列の解析的導出により、反復的最適化を回避し、計算効率を高める強固な性能が得られた。