[論文レビュー] Non null controllability of Stokes equations with memory

Enrique Fernández‐Cara, José Lucas F. Machado+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 41被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、境界制御または分配制御が完全に利用可能な場合であっても、記憶項を有する3次元ストークス方程式は、ノルム制御可能でないことを確立している。双対性の議論と、安定化を妨げる特定の初期データの構成を用いて、観測可能性不等式の不成立を証明し、記憶項が制御可能性を根本的に妨げる要因であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study the null controllability of the three-dimensional Stokes equations with a memory term. For any positive final time $T>0$, we construct initial conditions such that the null controllability does not hold even if the controls act on the whole boundary. Moreover, we also prove that this negative result holds for distributed controls.

研究の動機と目的

• 境界制御または分配制御の下で、記憶項を有する3次元ストークス方程式がノルム制御可能かどうかを調査すること。
• 記憶項の存在が、ストークス系の標準的制御可能性特性を破壊するかどうかを特定すること。
• 最終時刻 T で解をゼロに駆り込めない初期データの構成により、否定的結果を確立すること。
• 記憶項を有する熱方程式の既知の非制御可能性結果を、より複雑な記憶項を有するベクトル値かつ非圧縮性ストークス系に拡張すること。
• 随伴系の観測可能性不等式が不成立であることを示し、これによりノルム制御可能性の欠如が示唆されること。

提案手法

• ノルム制御可能性と随伴系の観測可能性不等式との双対性を利用する。
• 解が時刻 T でゼロに達しないようにする明示的な初期データ y₀ ∈ H(Ω) を構成する。
• 観測可能性不等式の不成立に基づく背理法を用いる。
• Guerrero と Imanuvilov (2013) が記憶項を有する熱方程式に用いた技術をストークス系に適応する。
• 随伴系を分析する：−ϕt − Δϕ − b∫ₜᵀ e⁻ᵃ⁽ˢ⁻ᵗ⁾Δϕ(·,s)ds + ∇q = 0 かつ ϕ(·,T) = ϕ₀。
• 記憶積分項のため、一様な観測可能性推定は成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ストークス方程式の記憶項が境界制御の下でのノルム制御可能性を妨げるか？
• RQ2 記憶積分項が存在する場合でも、随伴系の観測可能性不等式が成立するか？
• RQ3 任意の制御 v ∈ L²(γ×(0,T)) が時刻 T に解をゼロに駆り込めないような、特定の初期データ y₀ ∈ H(Ω) が存在するか？
• RQ4 分配制御が境界制御に代わって用いられた場合でも、ノルム制御可能性の欠如は継続するか？
• RQ5 標準的なカルレマン不等式の手法を、この記憶積分微分方程式系の観測可能性を示すために適応可能か？

主な発見

• 任意の T > 0 に対して、記憶項を有する3次元ストークス方程式のノルム制御可能性は不成立である。
• 境界制御 v ∈ L²(γ×(0,T)) が存在しても、時刻 T に解をゼロに駆り込めない初期条件 y₀ ∈ H(Ω) が存在する。
• 同じ非制御可能性結果は、Ω の空でない開部分集合 ω ⊂ Ω に作用する分配制御に対しても成立する。
• ノルム制御可能性の不成立は、随伴系の観測可能性不等式の破綻に起因する。
• 記憶項は、標準的カルレマン推定の適用を妨げる構造的障害をもたらす。
• この結果により、記憶項を有するスカラー熱方程式に関する既存の非制御可能性結果が、ベクトル値かつ非圧縮性ストークス系に拡張された。