[論文レビュー] Non-random overshoots of Lévy processes

Matija Vidmar|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、レベルを越える際のオーバーシートがほとんど確実に一定であるLévy過程を特徴づけ、そのような過程が、正の跳躍を持たない（スペクトル的に負性である）か、またはサイズが正確に $ h $ で $ \mathbb{Z}_h $ に制限された格子上の跳躍を持つ化合物Poisson過程に限られることを証明する。この結果は、経路的解析と強マルコフ性に依拠しており、非ランダムなオーバーシートを示すより広いクラスの過程へとフラクチュエーション理論を拡張する。

ABSTRACT

The class of Levy processes for which overshoots are almost surely constant quantities is precisely characterized.

研究の動機と目的

• レベルを越える際のオーバーシートがほとんど確実に一定であるLévy過程を同定すること。これはフラクチュエーション理論におけるギャップを埋めるものである。
• スペクトル的に負性なLévy過程がオーバーシートをゼロに持つという既知の結果を、非確率的オーバーシートを持つすべての過程へ一般化すること。
• 非スペクトル的に負性なLévy過程が非ランダムなオーバーシートを示すことができるかどうか、そしてその場合、どのような構造的条件が必要かを特定すること。
• 強マルコフ性と経路的連続性の議論を用いて、このような過程の完全な特徴づけを確立すること。

提案手法

• 最初の通過時刻 $ T_x = \inf\{t \geq 0 : X_t \geq x\} $ とオーバーシート $ R_x = X_{T_x} - x $ を用いて、オーバーシート分布を定義する。
• 強マルコフ性を適用して、レベル $ x $ におけるオーバーシート分布をより小さいレベルからの増分に分解する。
• イベント $ \{T_x < \infty\} $ 上でオーバーシートがほとんど確実に一定であることを形式化するため、$ \mathsf{P} $-自明性の概念を導入する。
• Lévy過程の準左連続性を用いて、$ \{T_x < \infty\} $ 上で $ T_x = \hat{T}_x $ がほとんど確実に成り立つことを示し、通過時刻における経路の連続性を保証する。
• 矛盾による証明と集合 $ \mathcal{A} $（非ランダムなオーバーシートを持つレベルの集合）に対する帰納法を用い、$ \mathcal{A} $ が $ \mathbb{R} $ で稠密であり、最終的に $ \mathbb{R} $ 全体に一致することを示す。
• Lévy三重対とLévy測度の構造を活用し、非ランダムなオーバーシート条件を満たすのは、サイズが正確に $ h $ で $ \mathbb{Z}_h $ に制限された化合物Poisson過程、または正の跳躍を持たないものに限られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのLévy過程が与えられたレベルを越える際にほとんど確実に一定なオーバーシートを持つのか？
• RQ2 非スペクトル的に負性なLévy過程が非確率的オーバーシートを示すことができるか。その場合、どのような条件下でか？
• RQ3 非ランダムなオーバーシートを持つLévy過程のクラスは、スペクトル的に負性なクラスよりも厳密に大きいのか？
• RQ4 オーバーシートが非ランダムであるために必要な・十分なLévy三重対およびLévy測度の構造的性質は何か？
• RQ5 強マルコフ性と経路連続性は、可能なオーバーシート分布にどのような制約を課えるか？

主な発見

• ほとんど確実に一定なオーバーシートを持つLévy過程は、正の跳躍を持たない（スペクトル的に負性である）か、またはサイズが正確に $ h $ で $ \mathbb{Z}_h $ に制限された格子上の跳躍を持つ化合物Poisson過程に限られる。
• このような過程では、レベル $ x $ を越えるオーバーシートがほとんど確実に $ f(x) $ に等しくなる。ここで $ f(x) $ は $ x $ の決定的関数である。
• オーバーシートが $ \mathsf{P} $-自明であるようなレベルの集合は $ \mathbb{R} $ で稠密であり、仮定のもとでは $ \mathbb{R} $ に一致する。
• 結果は最小限の仮定のもとで成り立つ：オーバーシートは $ \{T_x < \infty\} $ 上で $ \mathsf{P} $-自明であり、過程は càdlàg かつ独立増分を有する。
• 証明は強マルコフ性と準左連続性に依拠し、$ \{T_x < \infty\} $ 上で $ T_x = \hat{T}_x $ がほとんど確実に成り立つことを示し、通過時刻における経路の連続性を保証する。
• 特徴づけは鋭い：オーバーシート分布が退化していても、非ランダムなオーバーシートを持つ他のLévy過程は存在しない。