[論文レビュー] Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra

Lyonell Boulton|ArXiv.org|Sep 29, 1999

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 49

ひとこと要約

本稿は、$ \operatorname{Re}(c) > 0 $ かつ $ \operatorname{Im}(c) > 0 $ である非自己随伴複素調和振動子 $ H_c = -\frac{d^2}{dx^2} + c x^2 $ が $ L^2(\mathbb{R}) $ 上で定義されるとき、その擬スペクトルを調査する。主な結果は二つである。第一に、JWKB解析を用いて、$ \eta \to \infty $ のとき、$ z = b\eta + c\eta^p $（$ 1/3 < p < 3 $）に沿ってリゾルベントノルムが発散することを示す。第二に、非自己随伴版のメーラーの公式を用いて、$ -H_c $ が生成する半群が最大角領域内でヒルベルト＝シュミット型であることを証明し、直線 $ z = \eta + ib $ および $ z = c\eta - ib $ に沿ってリゾルベントノルムが一様に有界であることを示し、擬スペクトル不安定性に関する数値的証拠を裏付ける。

ABSTRACT

We provide new information concerning the pseudospectra of the complex harmonic oscillator. Our analysis illustrates two different techniques for getting resolvent norm estimates. The first uses the JWKB method and extends for this particular potential some results obtained recently by E.B. Davies. The second relies on the fact that the bounded holomorphic semigroup generated by the complex harmonic oscillator is of Hilbert-Schmidt type in a maximal angular region. In order to show this last property, we deduce a non-self-adjoint version of the classical Mehler's formula.

研究の動機と目的

• E. B. デイビスの複素調和振動子の擬スペクトルに関する結果を、複素平面上の新たな曲線へと拡張すること。
• JWKB近似と半群理論の二つの異なる解析的技法を用いて、$ H_c $ のリゾルベントノルム推定を確立すること。
• 非可換半群 $ -H_c $ が生成する正則半群が最大角領域内でヒルベルト＝シュミット型であることを証明し、精密なスペクトル安定性解析を可能にすること。
• 特に高エネルギー固有値の不安定性に関する数値的証拠の形状を確認および拡張すること。

提案手法

• 非自己随伴版のメーラーの公式を導出し、$ -H_c $ の熱核を明示的に計算することで、半群のヒルベルト＝シュミット性の解析を可能にする。
• スペクトル射影分解 $ H_c = \sum_{n=0}^m H_c|_{\operatorname{Ran}(Q_n)} \oplus H_c|_{\operatorname{Ran}(I-P_m)} $ を用いて、作用素ノルム分解によるリゾルベントノルムの推定を行う。
• リゾルベント恒等式 $ (H_c - z)^{-1} = \sum_{n=0}^m (H_c|_{\operatorname{Ran}(Q_n)} - z)^{-1} Q_n + (H_c|_{\operatorname{Ran}(I-P_m)} - z)^{-1} (I - P_m) $ を適用し、全リゾルベントノルムの上界を求める。
• JWKB法を用いて近似固有状態を構成し、$ 1/3 < p < 3 $ に対して $ \|(H_c - (b\eta + c\eta^p))^{-1}\| \to \infty $ が $ \eta \to \infty $ のとき成り立つことを示す。
• 半群 $ e^{-H_c \tau} $ が扇型領域内でコンパクトかつ正則であることから、その生成子 $ -H_c $ のリゾルベントノルムが複素平面上の特定の線に沿って有界であることを導く。
• スペクトル射影子の推定と半群のヒルベルト＝シュミット性を組み合わせ、$ z $ が $ \eta + ib $ および $ c\eta - ib $ の近くにある場合に $ \|(H_c - z)^{-1}\| $ に対して一様な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴調和振動子 $ H_c $ の擬スペクトルは、大きなスペクトルパラメータに対してどのように振る舞うか。
• RQ2 $ \eta \to \infty $ のとき、直線 $ z = \eta + ib $ および $ z = c\eta - ib $ に沿って $ H_c $ のリゾルベントノルムが一様に有界であるか。
• RQ3 JWKB法を非自己随伴シュレーディンガー作用素に複素ポテンシャルを持つ場合に、リゾルベントノルムの発散推定にどの程度まで拡張可能か。
• RQ4 正則半群 $ -H_c $ がヒルベルト＝シュミット型である最大角領域は何か。

主な発見

• すべての $ b > 0 $ および $ 1/3 < p < 3 $ に対して、$ \|(H_c - (b\eta + c\eta^p))^{-1}\| \to \infty $ が $ \eta \to \infty $ のとき成り立つ。これは、そのような曲線に沿って固有値が強く不安定であることを示唆する。
• すべての $ b > 0 $ に対して、ある定数 $ M_b > 0 $ が存在し、$ \lim_{\eta \to \infty} \|(H_c - (\eta + ib))^{-1}\| \leq M_b $ および $ \lim_{\eta \to \infty} \|(H_c - (c\eta - ib))^{-1}\| \leq M_b $ が成り立つ。これは、これらの線に沿ってリゾルベントノルムが一様に有界であることを示している。
• コンパクトかつ正則な半群 $ -H_c $ が最大角領域内でヒルベルト＝シュミット型であることは、非自己随伴版のメーラーの公式から得られる重要な性質である。
• $ \operatorname{Spec}_\varepsilon(H_c) $ は、最初の $ m+1 $ 個の固有値の周囲の円板と、$ \lambda_{m+1} $ から伸びる扇型領域の和集合に含まれる。これはデイビスの数値的観察を確認するものである。
• $ \kappa(\lambda_n) $ の不安定性インデックスは、$ n $ の任意のべきよりも速く増大するため、擬スペクトルの $ \varepsilon $-近傍に含まれるための必要十分条件は $ m $ と共に指数的に小さくなる。
• もし $ 0 < p < 1/3 $ に対して $ \operatorname{Spec}_\varepsilon(H_c) \subset \Omega_{m,p} \cup \bigcup_{n=0}^m \{ z : |z - \lambda_n| < \delta \} $ が成り立つとすれば、現在の境界を著しく改善できる。また、$ p > 1/3 $ に対して結果が成り立たないため、$ p < 1/3 $ の制約は最適である。