[論文レビュー] Non-separability and complete reducibility: $E_n$ examples with an application to a question of Külshammer

Tomohiro Uchiyama|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性2の単純代数群 $G$ を型 $E_n$ ($n=6,7,8$) とするとき、$H < M < G$ なる有限部分群の新しい例を構成する。ここで $H$ は $G$-完全可約であるが $M$-完全可約でない。幾何的不変理論と Magma を用いた明示的計算により、$E_6$ に対して11例、$E_7$ に対して1例、$E_8$ に対して2例の例を提供し、非分離作用と完全可約性の有理性に関する問題を解決する。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple algebraic group of type $E_n (n=6,7,8)$ defined over an algebraically closed field $k$ of characteristic $2$. We present examples of triples of closed reductive groups $H

研究の動機と目的

• 型 $E_n$ ($n=6,7,8$) の例外的群において特性2の下で、$H$ が $G$-完全可約であるが $M$-完全可約でないような三重組 $H < M < G$ の明示的例を構成すること。
• 有限群の再帰的群への作用に関する Külshammer の問いに応えるために、非分離部分群の構造を分析すること。
• 特に非分離作用の文脈において、部分体上での $G$-完全可約性の有理性を調査すること。
• $E_n$ 群における特定の部分群の共役類と、その自己同型による挙動を調査すること。
• 完全可約性の文脈における再帰的対と分離性の役割を理解を深めること。

提案手法

• $G = E_6, E_7, E_8$ に対し、それぞれ型 $A_5$、$A_7$、$A_7$ のレヴィ部分群 $L$ とその最大トーラス $T$ を固定し、その対応するパラボリック部分群 $P$ とそのユニポテンツルート $R_u(P)$ を考える。
• Weyl群 $W_L$ の有限部分群 $K'$ を特定し、$R_u(P)$ 上で非分離的に作用するようにする。これは、$K'$ のグローバルおよび無限小中心化子が異なるという条件を用いる。
• $T$ からの適切な元 $t$ を $K'$ に加えることで、$K$ を $G$-完全可約な部分群に安定化させつつ、$K$ が still $R_u(P)$ 上で非分離的に作用することを保証する。
• $R_u(P)$ 内の1次元曲線 $C$ に属する $v$ を選び、$H = vKv^{-1}$ を構成する。このとき、$T_1(C)$ が $K$ の中心化群のリー代数には含まれるが、固定点群 $C_{R_u(P)}(K)$ のリー代数には含まれないようにする。
• 幾何的不変理論の命題2.4を用いて、$H$ が $M$-完全可約でないことを検証する。一方で $H$ は $G$-完全可約である。
• 特に $E_6$、$E_7$、$E_8$ において、群作用、ルート系、共役類の計算を Magma を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性2の型 $E_n$ ($n=6,7,8$) の群 $G$ に対して、$H < M < G$ となる有限部分群 $H$ の明示的例を構成できるか。ここで $H$ は $G$-完全可約であるが $M$-完全可約でない。
• RQ2 $H$ が $G$-完全可約であるとき、$M$-完全可約性の失敗に非分離性が果たす役割は何か。
• RQ3 特に非分離作用の文脈において、部分体上での $G$-完全可約性の有理性はどのように振る舞うか。
• RQ4 $G$-完全可約であるが $M$-完全可約でない再帰的群 $M$ に対して、非共役の有限群の表現が存在するか。
• RQ5 特に作用が非分離である場合に、$E_n$ 群における特定の有限部分群の共役類の構造は何か。

主な発見

• 著者は、特性2の $G = E_6$ に対して、$H$ が $G$-完全可約であるが $M$-完全可約でない有限部分群 $H < M < G$ の明示的例を11例構成した。
• $G = E_7$ に対して1例、$G = E_8$ に対して2例の新しい例を提供し、いずれも同様の $G$-完全可約だが $M$-完全可約でない条件を満たす。
• 構成された部分群 $H$ は、理論的に要求されるように $G$ で非分離的である。もし $H$ が分離的であれば、$G$-完全可約であれば常に $M$-完全可約であったはずである。
• 証明は、幾何的不変理論のキーポイント（命題2.4）に依拠しており、中心化子条件の不成立を用いて非$M$-完全可約性を検証する。
• これらの例は、非分離性のため、$H$ が $G$-完全可約であっても、部分体上での $G$-完全可約性の有理性が失敗しうることを示している。
• 本稿は、表現 $(\rho_a, \rho_b)$ が $a = b$ でない限り $G$-共役でないことを示しており、$E_n$ 群における特定の有限部分群の非共役性を確認している。