[論文レビュー] Non-trivial unary languages recognized by two-way one-counter machines.

Marzio De Biasi, Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

semigroups and automata theory参考文献 37被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、2方向1カウンタオートマトン（2CA）のための新規プログラミング技法を導入し、入力とシミュレート対象のマシンの作業メモリを1進数表現の整数の指数として符号化することで、多カウンタオートマトンおよび空間制限付きチューリング機械を1進入力に対してシミュレート可能にする。主な貢献は、決定的・非決定的・交文的・確率的2CAが、指数的長さの文字列を越える非自明な1進言語を認識できることの同定であり、その中には2進数表現を必要とする言語も含まれるが、定数サイズの量子メモリにより2進数表現を1進数表現に置き換え可能である。

ABSTRACT

Finite automaton with one counter (CA) is a fundamental model in automata theory. It has been widely examined from different point of views since sixties. One recent significant result, for example, is that the equivalence problem of deterministic one-way CAs is NLcomplete [Stanislav Bohm, Stefan Goller, Petr Jancar. STOC 2013: 131140]. In the case of unary languages, on the other hand, we know little about the computational power of CAs. Since one-way nondeterministic pushdown automata, a generalization of one-way nondeterministic CAs, cannot recognize any nonregular unary language, it is interesting to focus on one-way alternating CAs (1ACAs) and two-way CAs (2CAs). Up to our knowledge, the only known unary non-regular languages recognized by 1ACAs and 2CAs are formed by the strings with exponential lengths. In this paper, we present a new programming technique for 2CAs on unary languages that allows to simulate multi-counter automata and space bounded Turing machines operating on unary or general alphabets. The idea is that a 2CA can take the input and the working memory of the simulated machine as the exponent of some integers encoded on unary inputs. Thus, once the 2CA becomes sure about the correctness of the encoding, it can start a two-counter simulation of the given machine. Here the second counter is simulated by the input head of the 2CA on the unary input. Based on this idea, we will present several new non-trivial unary languages recognized by deterministic, nondeterministic, alternating, and probabilistic 2CAs. In some cases, we use encodings on binary alphabet as well, in which we show that using a constant-size quantum memory can help to replace the encoding on binary alphabets with unary alphabets. keywords: automata theory, counter machines, unary languages, nondeterminism, alternation, randomization, quantum automata

研究の動機と目的

• 1進言語における2方向1カウンタオートマトン（2CA）の計算能力を調査すること。ここでは、指数的長さの文字列の認識を超える知識はほとんどない。
• 1方向非決定的CAが非正則な1進言語を認識できないという制限を克服すること。
• 2CAが1進または一般のアルファベット上で多カウンタオートマトンおよび空間制限付きチューリング機械をエミュレートできる新しいシミュレーション技法を開発すること。
• 決定的・非決定的・交文的・確率的2CAモデルが、指数的長さの文字列を越える非自明な1進言語を認識できることを示すこと。
• 2進数表現の役割と、定数サイズの量子メモリが2進数表現を1進数表現に置き換える可能性について調査すること。

提案手法

• 2CAは、入力とシミュレート対象マシンの作業メモリを、1進数表現の整数の指数として符号化し、カウンタを用いてこれらの値を格納・操作する。
• 符号化が正しく行われたことを確認した後、2CAはターゲットマシンの2カウンタシミュレーションを開始し、入力ヘッドを1進テープ上に配置して2番目のカウンタを模倣する。
• この技法により、1進または一般のアルファベット上で動作する多カウンタオートマトンおよび空間制限付きチューリング機械の両方をシミュレート可能である。
• この方法は、決定的・非決定的・交文的・確率的2CAをカバーし、新しい非正則な1進言語の認識を可能にする。
• 一部の構成では2進数表現が使用され、定数サイズの量子メモリがある場合、2進数表現を1進数表現に置き換えられることを示している。
• 符号化の正しさは、1進入力テープ上の状態制御とヘッド移動パターンの注意深い制御により検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2方向1カウンタオートマトンは、指数的長さの文字列から得られるもの以外の非自明な1進言語を認識できるか？
• RQ2 2CAは、新しい符号化方式を用いて、1進入力に対して多カウンタオートマトンおよび空間制限付きチューリング機械をどのようにシミュレートできるか？
• RQ3 2CAが複雑な1進言語を構築する際に2進数表現が果たす役割は何か？ また、2進数表現を1進数表現に置き換え可能か？
• RQ4 定数サイズの量子メモリは、2CAによる1進言語認識において2進数表現の必要性を低下させられるか？
• RQ5 決定的・非決定的・交文的・確率的2CAのさまざまな変種が1進言語に対して果たす計算能力は何か？

主な発見

• 本稿は、決定的・非決定的・交文的・確率的2方向1カウンタオートマトンが、新たな非自明な1進言語を認識できることを提示している。
• これらの言語は、指数的長さの文字列から得られるものよりも拡張されており、1進入力における2CAの表現能力が著しく拡大されたことを示している。
• 提案された符号化技法により、2CAは多カウンタオートマトンおよび空間制限付きチューリング機械を、その状態とメモリを1進数表現の整数の指数として表現することでシミュレート可能である。
• 一部の構成で使用される2進数表現は、定数サイズの量子メモリが利用可能な場合、1進数表現に置き換え可能である。
• この技法により、より複雑なオートマトンや大規模なメモリモデルを必要とする言語の認識が可能になる。
• 結果として、2CAは従来の認識を超えて、特に符号化およびシミュレーション戦略を活用することで、1進入力に対してより強力であることが示された。