[論文レビュー] Non-vanishing for cubic $L$--functions

Chantal David, Alexandra Florea+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Soundararajan、Harper、Lester–Radziwiłłの技術を用いて導かれた、第二モーメントの鋭い上界とモリフィードモーメントを用いて、$q \equiv 2 \pmod{3}$ である $\mathbb{F}_q[T]$ 上の立方体 $L$-関数の中央臨界点 $s = 1/2$ における非消滅の正の割合を確立している。その割合は明示的ではあるが、モーメントの上界における大きな意味的定数のため、極めて小さい。

ABSTRACT

We prove that there is a positive proportion of $L$-functions associated to cubic characters over $\mathbb{F}_q[T]$ that do not vanish at the critical point $s=1/2$. This is achieved by computing the first mollified moment using techniques previously developed by the authors in their work on the first moment of cubic $L$-functions, and by obtaining a sharp upper bound for the second mollified moment, building on work of Lester-Radziwill, which in turn develops further ideas from the work of Soundararajan, Harper, and Radziwill-Soundararajan. We work in the non-Kummer setting when $q \equiv 2\pmod{3}$, but our results could be translated into the Kummer setting when $q\equiv 1\pmod{3}$ as well as into the number field case (assuming the Generalized Riemann Hypothesis). Our positive proportion of non-vanishing is explicit, but extremely small, due to the fact that the implied constant in the upper bound for the mollified second moment is very large.

研究の動機と目的

• 関数体設定における中央臨界点 $s = 1/2$ での非消滅立方 $L$-関数の正の割合を確立すること。
• 先行研究における二次的捩れへの応用に基づき、モリフィードモーメント法を立方体 $L$-関数へ拡張すること。
• 最近のモーメント理論の進展を活用して、立方体 $L$-関数の第二モリフィードモーメントに対する鋭い上界を得ること。
• モーメント上界における大きな意味的定数のため、非消滅割合が明示的ではあるが極めて小さいことを示すこと。
• 非ケーマー設定（$q \equiv 2 \pmod{3}$）への結果の拡張を行い、GRHのもとでケーマー設定および数体設定への適用可能性を示唆すること。

提案手法

• 先行研究における第一モーメントの一般化された技術を用いて、$\mathbb{F}_q[T]$ 上の立方体 $L$-関数の第一モリフィードモーメントを計算する。
• Soundararajan、Harper、Lester–Radziwiłłによる $|\zeta(1/2 + it)|$ のモーメントに関する発見的進展を援用し、第二モリフィードモーメントの鋭い上界を適用する。
• コーシー–シュワルツの不等式を用いて、第一および第二モリフィードモーメントから非消滅 $L$-関数の正の割合を導出する。
• モリフィードモーメントをモニックな既約多項式に関するオイラー積に分解し、局所的因子の精密な推定を実施する。
• 素多項式定理と指数和の推定を用いて、モーメント漸近展開における誤差項を制御する。
• 切り上げパラメータ $J$ とダイアディック分解を用いて、モリフィアーにおける低次多項式の寄与を局所化し、収束性と誤差制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q \equiv 2 \pmod{3}$ である $\mathbb{F}_q[T]$ 上の立方体 $L$-関数のうち、$s = 1/2$ で非消滅する割合は何か？
• RQ2 第二モーメントの漸近的性質が不明である立方体 $L$-関数に対し、モリフィードモーメント法を拡張可能か？
• RQ3 第二モリフィードモーメントの上界における意味的定数の大きさは何か？ そして、非消滅割合にどのように影響するか？
• RQ4 非ケーマー設定における非消滅結果を、ケーマー設定や数体設定へ、GRHのもとで拡張可能か？
• RQ5 モリフィードモーメントのオイラー積における局所的因子は、全体の漸近的挙動にどのように寄与するか？

主な発見

• この論文は、$q \equiv 2 \pmod{3}$ である $\mathbb{F}_q[T]$ 上の原始的立方体ディリクレ指標に対して、$s = 1/2$ における $L$-関数が非消滅する正の割合を証明している。
• 非消滅割合は明示的ではあるが、第二モーメントの上界における大きな意味的定数のため、極めて小さい。下界は $1 - \frac{1}{e^{e^{84}}}$ で与えられる。
• 第一モリフィードモーメントが明示的に計算され、立方体 $L$-関数の第一モーメントに関する先行結果を一般化している。
• Soundararajan、Harper、Lester–Radziwiłłの技術を活用して、第二モリフィードモーメントに対する鋭い上界が得られている。
• 最悪の場合（$q = 5$）において、モリフィードモーメントの主要項は $0.6143 \, q^{g+2}$ 以上に下から抑えられ、非消滅割合の正の下界を保証する。
• 本手法は非ケーマー設定（$q \equiv 2 \pmod{3}$）に適用可能であり、ケーマー設定（$q \equiv 1 \pmod{3}$）および数体設定への拡張がGRHのもとで期待される。