[论文解读] Noncommutative calculus and operads

Boris Tsygan|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 66被引用 6

一句话总结

本文通过操作子和霍赫希尔德/循环同调构建了一个非交换微积分框架，利用形变量子化方法建立了非交换版的阿蒂亚-辛格指标定理。该文证明了光滑流形与复解析流形上的代数指标定理，表明形变代数中投影差的迹受形式泊松结构与特征类的控制，最终结果以 $φ$-扭 $φ$-不变的 $√{\widehat{A}}$-类表达。

ABSTRACT

This is a survey of current and recent works on deformation quantization and index theorems.

研究动机与目标

• 将经典指标理论推广至非交换设定，采用形变量子化与操作子方法。
• 利用形式泊松结构对形变代数中的迹与投影进行分类。
• 通过周期循环同调与霍赫希尔德上循环类，将阿蒂亚-辛格指标定理推广至非交换代数。
• 利用德林菲尔德关联器与形式性定理，为光滑与复解析设定下的指标定理建立统一框架。

提出的方法

• 将霍赫希尔德链复形与上链复形用作微分形式与多向量场的非交换类比。
• 应用孔茨耶夫形式性定理与塔马克林的操作子证明方法，将非交换复形与经典微积分结构关联。
• 将迹密度映射 $\operatorname{TR}$ 构造为形式性同构与 $\exp(\iota_\pi / u)$ 的复合，将周期循环同调与德拉姆复形联系起来。
• 通过模 $\hbar$ 约化与 HKR 同构定义主符号映射 $\sigma$，将 $\operatorname{CC}^{\operatorname{per}}_{-\bullet}(\mathbb{A}^\pi)_{\mathbb{C}}$ 与 $\Omega^{-\bullet}(X)((u))$ 关联。
• 利用古德威尔德刚性定理，证明在模 $\hbar$ 约化后 $\mathbb{A}^\pi$ 与 $C^\infty(X)$ 之间存在拟同构。
• 在复解析情形下应用 $\Phi$-扭 $\widehat{A}$-类，其中 $\sqrt{\widehat{A}}_\Phi(T_X)_u$ 编码曲率与单值性数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典微积分结构（如微分形式与多向量场）推广至非交换代数？
• RQ2 操作子与形式性定理在分类形变量子化及其迹中起什么作用？
• RQ3 代数指标定理如何从光滑流形推广至复解析流形？出现了哪些新不变量？
• RQ4 形变代数上的迹与特征类（如 $\sqrt{\widehat{A}}$）之间的确切关系是什么？
• RQ5 德林菲尔德关联器如何影响复解析设定下数据的分类与最终指标公式的构造？

主要发现

• 形变量子化代数 $\mathbb{A}^\pi$ 的周期循环复形上的迹密度映射 $\operatorname{TR}$ 同构于微分为 $ud_{\rm{DR}}$ 的德拉姆复形，且复合了 $\exp(\iota_\pi / u)$。
• 主符号映射 $\sigma$ 通过 HKR 同构将 $\mathbb{A}^\pi$ 模 $\hbar$ 的周期循环同调与德拉姆复形 $\Omega^{-\bullet}(X)((u))$ 关联。
• 对于光滑流形，代数指标定理表述为 $\operatorname{TR}(a) = \iota(\sigma(a)) \wedge \sqrt{\widehat{A}}(T_X)_u$，其中 $\iota$ 为包含映射，$\sqrt{\widehat{A}}(T_X)_u$ 为 $u$-扭 $\widehat{A}$-类。
• 在复解析情形下，迹映射 $\operatorname{TR}_\Phi$ 因子化于 $\Omega^{0,\bullet}(X,\Omega_X^{\bullet})[[\hbar,u]]$，其微分为 $\overline{\partial} + u\partial$，且指标公式涉及 $\sqrt{\widehat{A}}_\Phi(T_X)_u$。
• 紧支集上 $\mathbb{A}^\pi$ 上矩阵的迹的最终指标定理为 $\operatorname{Tr}(P-Q) = \langle \tau, \operatorname{exp}(\iota_\pi)(\operatorname{ch}(P_0 - Q_0) \sqrt{\widehat{A}}^\frac{1}{2}(M)) \rangle$，其中 $\tau$ 为泊松迹。
• 该结果在辛流形情形下与阿蒂亚-辛格指标定理一致，并通过 $\sqrt{\widehat{A}}$-类与 $\iota_\pi$-扭化，将该定理推广至形式泊松结构。