[論文レビュー] Noncommutative geometry and dual coalgebras

Lieven Le Bruyn|ArXiv.org|May 15, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、k-代数Aの非可換アフィンスキームrep(A)が双対余代数A⁰に対応することを提案し、非可換幾何学と余代数的構造の間に双対性を確立する。主な結果は、A⁰がA∞-構造を備えた単純A表現のヤネダ空間上に構成された指標化された余代数とタケウチ同値であることを示しており、ホモトピー代数を用いて表現論的データを符号化する。

ABSTRACT

In arXiv:math/0606241v2 M. Kontsevich and Y. Soibelman argue that the category of noncommutative (thin) schemes is equivalent to the category of coalgebras. We propose that under this correspondence the affine scheme of a k-algebra A is the dual coalgebra A^o and draw some consequences. In particular, we describe the dual coalgebra A^o of A in terms of the A-infinity structure on the Yoneda-space of all the simple finite dimensional A-representations.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における非可換アフィンスキームと双対余代数の間の対応を確立すること。
• 有限次元単純A表現のヤネダExt空間に基づいて、双対余代数A⁰の構造を記述すること。
• 可換代数幾何学からの幾何的洞察を、余代数的双対性を用いて非可換設定に一般化すること。
• タケウチ同値とA∞-構造を用いて、表現関手rep(A)の余代数的実現を提供すること。

提案手法

• 有限次元k-余代数Cから集合alg_k(A, C*)への反変関手rep(A)を定義し、それがA⁰によって表現可能であることを示す。
• コスタンツ双対性を用いて、alg_k(A, C*)内の準同型とcoalg_k(C, A⁰)内の余代数準同型の間に自然な対応を確立する。
• A⁰のコラディカルを、単純A表現によってインデックス付けられた1次元部分余代数の直和として特徴づけ、simp(A) = corad(A⁰)を同定する。
• Aのext¹-クイバー上にパス余代数ℬを構成し、余乗法をパスの連結、余単位をパス長さで定義する。
• ヤネダ空間Ext•_A上のA∞-構造を用いて、ℬ(ext¹_A)からext²_Aへのホモトピー・マウラー＝カルタン写像μ = ⊕m_iを定義する。
• A⁰とμの核に含まれるℬ(ext¹_A)の部分余代数との間でタケウチ同値を確立し、この構成によりA⁰ ≅ A†を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンツェビッチ＝ソイベルマン双対性の下で、非可換アフィンスキームrep(A)はどのように双対余代数A⁰として実現可能か？
• RQ2 単純A表現のヤネダExt空間に基づくA⁰の余代数的構造は何か？
• RQ3 Ext•_A上のA∞-構造は、A⁰の完全な余代数的構造をどのように決定するか？
• RQ4 双対余代数A⁰は、ext-クイバーと単純モジュール上のA∞-作用から再構成可能か？

主な発見

• 非可換アフィンスキームrep(A)は、自然に双対余代数A⁰と同一視され、表現論と余代数の間の双対性が確立される。
• A⁰のコラディカルは、単純A表現によってインデックス付けられた1次元部分余代数の直和と同型であり、corad(A⁰) ≅ ⊕_S k·g_S（Sはsimp(A)を走る）が成り立つ。
• 双対余代数A⁰は、パス余代数ℬ(ext¹_A)の、ホモトピー・マウラー＝カルタン写像μ = ⊕m_iの核に含まれる部分余代数とタケウチ同値である。
• A⁰の完全な構造は、ヤネダ空間Ext•_A上のA∞-構造によって決定され、μは拡張の高次の関係を符号化する。
• 有限部分クイバーに対して、この構成はケラーの有限次元代数に関する結果に還元され、無限次元設定に一般化される。
• μ*の核におけるパス代数の完備化は、Aのm-進完備化を回復するため、形式的近傍のレベルで双対性が成立する。