[論文レビュー] Noncommutative localization and chain complexes I. Algebraic K- and L-theory

Amnon Neeman, Andrew Ranicki|ArXiv.org|Sep 18, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、代数的K理論およびL理論における非可換局所化を研究するための三角圏枠組みを確立し、$\sigma^{-1}R$ 上の有界な有限生成射影モジュールの複体が $R$ 上の複体に引き上げられるための必要十分条件を示している。その条件は、$i \geq 1$ に対して $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ が成り立つことである。これにより、古典的な局所化完全系列が非可換設定へと拡張された。

ABSTRACT

The noncommutative (Cohn) localization S^{-1}R of a ring R is defined for any collection S of morphisms of f.g. projective left R-modules. We exhibit S^{-1}R as the endomorphism ring of R in an appropriate triangulated category. We use this expression to prove that if S^{-1}R is "stably flat over R" (meaning that Tor^R_i(S^{-1}R,S^{-1}R)=0 for i>0) then every bounded f.g. projective S^{-1}R-module chain complex D with [D] \in im(K_0(R)-->K_0(S^{-1}R)) is chain equivalent to S^{-1}C for a bounded f.g. projective R-module chain complex C, and that there is a localization exact sequence in higher algebraic K-theory >... --> K_n(R) --> K_n(S^{-1}R) --> K_n(R,S) --> K_{n-1}(R) --> ..., extending to the left the sequence obtained for n<2 by Schofield. For a noncommutative localization S^{-1}R of a ring with involution R there are analogous results for algebraic L-theory, extending the results of Vogel from quadratic to symmetric L-theory.

研究の動機と目的

• 代数的K理論およびL理論における古典的な局所化完全系列を、環の非可換局所化へと一般化すること。
• 複体の引き上げ問題を解明すること：$R$ 上の複体 $C$ に対して、$\sigma^{-1}R$-モジュールの有界複体が $\sigma^{-1}C$ に擬等長であるのはいつか？
• 局所化関手が完全複体のレベルで同値を誘導する条件を特定すること。
• 三角圏的手法を用いて、Vogelの対称$L$理論に関する結果を非可換設定へと拡張すること。
• 局所化が単射である場合、局所化系列における相対$K$-および$L$-群が torsion $L$-群に同型であることを確立すること。

提案手法

• $R$ の適切な複体の三角圏における $R$ の自己準同型環として、非可換局所化 $\sigma^{-1}R$ を表現する。
• 三角圏におけるBousfield局所化を用いて局所化関手を構成し、そのホモロジー的性質を分析する。
• $\sigma$-同調的複体のフル部分圏 $D(R,\sigma)$ を定義し、商圏 $D(R)/D(R,\sigma)$ を研究する。
• $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$ なる関手を構成し、$i \geq 1$ に対して $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ が成り立つときかつそのときに限り、これが同値であることを証明する。
• Waldhausenの近似定理および局所化定理を用いて、$R$、$\sigma^{-1}R$、および相対$K$-群 $K_n(R,\sigma)$ の$K$-群を関連付ける。
• $\operatorname{Tor}^R_1(T,T)$ を含む区別された三角形を用いて、$\epsilon$-対称および$\epsilon$-二次形式の torsion $L$-群を分析し、それらを相対$L$-群と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成射影 $\sigma^{-1}R$-モジュールの有界複体が、ある有限生成射影 $R$-モジュールの有界複体 $C$ に対して $\sigma^{-1}C$ に擬等長であるための条件は何か？
• RQ2 局所化関手 $T$ が $R$ および $\sigma^{-1}R$ 上の完全複体の三角圏の間で同値を誘導するのはいつか？
• RQ3 非可換設定において、相対$K$-群 $K_n(R,\sigma)$ と $R$ および $\sigma^{-1}R$ の$K$-群との間の正確な関係は何か？
• RQ4 非可換局所化の$L$-理論は、torsion形式および相対$L$-群の観点からどのように記述できるか？
• RQ5 $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R)$ の役割は、高次$K$-理論および$L$-理論における局所化完全系列の正当性を決定する上で果たすか？

主な発見

• 局所化関手 $T: (D(R)/D(R,\sigma))^c \to D^c(\sigma^{-1}R)$ が同値であるための必要十分条件は、すべての $i \geq 1$ に対して $\operatorname{Tor}^R_i(\sigma^{-1}R, \sigma^{-1}R) = 0$ が成り立つことである。これは複体の引き上げを特徴付ける。
• 高次代数的$K$-理論における局所化完全系列が存在する：$\dots \to K_n(R) \to K_n(\sigma^{-1}R) \to K_n(R,\sigma) \to K_{n-1}(R) \to \dots$。これはSchofieldの結果を $n \geq 2$ へと拡張する。
• 相対$K$-群 $K_n(R,\sigma)$ は、$\sigma$-同調的複体のカテゴリの$K_n$-群に同型であり、$K_0$-同型は、$R$ の$K_0$-像が $K_0(\sigma^{-1}R)$ に全射であるときに限り成立する。
• $R \to \sigma^{-1}R$ が対合を伴う非可換局所化であるとき、相対$L$-群 $L_n(R,\sigma,\epsilon)$ は torsion $L$-群 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$ に同型であり、これはVogelの結果を対称$L$-理論へと拡張する。
• $\epsilon$-二次形式の torsion $L$-群は4周期的である：$L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon) \cong L^\text{tor}_{n+4}(R,\sigma,\epsilon)$ であり、局所化系列における相対$L$-群はまさにこれらの torsion 群に一致する。
• $R \to \sigma^{-1}R$ が単射であるとき、局所化完全系列における相対$L$-群は torsion $L$-群 $L^\text{tor}_n(R,\sigma,\epsilon)$ に同型である。これはVogelの予想が非可換の場合に正当化されたことを示している。