[論文レビュー] Nonconforming Finite Element Spaces for $2m$-th Order Partial Differential Equations on $\mathbb{R}^n$ Simplicial Grids When $m=n+1$

Shuonan Wu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$m = n+1$ のとき、$ℝ^n$ 内の単体メッシュ上で $2m$-階楕円型問題に対する非適合有限要素の族を提案する。これは、従来の $m \leq n$ の制限を超えてモーリー＝ワン＝シュウ要素を拡張するものである。この手法は体積バブル関数を含む拡張された多項式形状関数と、巧みに設計された自由度を用い、一意的可解性、近似可能性、および準最適な $H^3$ 誤差推定を証明する。さらに、2次元における6階特異摂動問題に対しては、最適収束率を数値的に確認したロバストな $H^3$ 要素を導入する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a family of nonconforming finite elements for $2m$-th order partial differential equations in $\mathbb{R}^n$ on simplicial grids when $m=n+1$. This family of nonconforming elements naturally extends the elements proposed by Wang and Xu [Math. Comp. 82(2013), pp. 25-43] , where $m \leq n$ is required. We prove the unisolvent property by induction on the dimensions using the similarity properties of both shape function spaces and degrees of freedom. The proposed elements have approximability, pass the generalized patch test and hence converge. We also establish quasi-optimal error estimates in the broken $H^3$ norm for the 2D nonconforming element. In addition, we propose an $H^3$ nonconforming finite element that is robust for the sixth order singularly perturbed problems in 2D. These theoretical results are further validated by the numerical tests for the 2D tri-harmonic problem.

研究の動機と目的

• 従来の $m \leq n$ の制限により制限されていた $2m$-階偏微分方程式に対する非適合有限要素フレームワークを、$m = n+1$ の場合にまで拡張すること。
• $m = n+1$ の場合に、拡張された多項式形状関数と対称的な自由度を用いて、$H^m$ 非適合有限要素の普遍的族を構築すること。
• 形状関数と自由度の類似性を用いた帰納法により、一意的可解性、近似可能性、収束性を証明すること。
• 2次元三調和問題における破壊的 $H^3$ ノルムにおける準最適誤差推定を確立すること。
• 2次元における6階特異摂動問題に対して、$H^1$-適合性と向上した安定性を有するロバストな $H^3$ 非適合要素を構築すること。

提案手法

• 各単体 $T$ において、$π_{n+1}$ 多項式に $π_{n+2}$ 体積バブル関数を加えた形状関数空間 $P_T^{(n+1,n)}$ を構築する。
• 頂点、中点、辺における点評価、法線方向微分、接線方向微分に基づく局所自由度を定義し、対称性と一意的可解性を確保する。
• 次元に関する帰納法を用い、形状関数空間と自由度の類似性に基づいて一意的可解性を証明し、Wang と Xu (2013) の手法を一般化する。
• 近似可能性を確立し、一般化されたパッチテストに合格することで、$H^m$-適合問題における収束性を保証する。
• Strangの補題と補間理論を用い、最小限の正則性仮定の下で破壊的 $H^3$ ノルムにおける準最適誤差推定を導出する。
• 6階特異摂動問題におけるロバスト性を確保するため、追加のバブル関数を含む修正された $H^3$ 非適合要素を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体メッシュ上での $2m$-階偏微分方程式に対して、モーリー＝ワン＝シュウ非適合有限要素フレームワークを $m \leq n$ の制限を超えて拡張可能か？
• RQ2 $m = n+1$ の場合に、一意的可解性と収束性を保証する形状関数空間と自由度は何か？
• RQ3 最小限の正則性仮定の下で、2次元における非適合 $H^3$ 要素に対してどのような誤差推定が得られるか？
• RQ4 2次元における6階特異摂動問題に対して、ロバストな非適合 $H^3$ 要素を構築可能か？
• RQ5 理論的誤差推定は、モデル問題における数値的性能とどのように一致するか？

主な発見

• 提案された非適合有限要素族は、$m = n+1$ のとき $2m$-階偏微分方程式に対して一意的可解かつ収束することが、帰納法と形状関数の対称性に基づいて証明された。
• 破壊的 $H^3$ ノルムにおける準最適誤差推定が確立され、$u \in H^5(\Omega) \cap \tilde{H}_0^3(\Omega)$ の場合に収束率 $O(h)$ が得られ、理論的予測と一致した。
• 2次元三調和問題に対する数値実験では、$H^3$ ノルムで $O(h)$ 収束、$L^2$、$H^1$、$H^2$ ノルムで $O(h^2)$ 収束が確認され、理論的レートと一致した。
• 特異解が $H^{3.5}(\Omega)$ に属する非凸な L 字型領域でも、破壊的 $H^3$ ノルムで $O(h^{1/2})$ 収束が達成され、部分的正則性と整合的であった。
• 修正された $H^3$ 非適合要素は、2次元における6階特異摂動問題に対してロバストであり、境界層効果があっても最適収束率を維持した。
• 2次元 $H^3$ 要素は局所自由度が12個であり、Hu と Zhang (2013) の要素よりも3つ少ないため、より高い効率性を示した。