[論文レビュー] Noncongruence subgroups in H(2)

Pascal Hubert, Samuel Lelièvre|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、 genus 2 の abelian differential の最小性質を持つ stratum ℋ(2) における原始的 square-tiled 表面の Veech 群の合同部分群問題を解決する。組合せ的群論と群の指数およびレベルの数論的解析を用いて、3-square 表面を除くすべてのこのような Veech 群が非合同部分群であることを証明し、この設定における合同性の完全分類を提供する。

ABSTRACT

We study the congruence problem for subgroups of the modular group that appear as Veech groups of square-tiled surfaces in the minimal stratum of abelian differentials of genus two.

研究の動機と目的

• stratum ℋ(2) に属する原始的 square-tiled 表面の Veech 群が SL(2,ℤ) の合同部分群であるかどうかを特定すること。
• 単一の二重零点をもつ genus 2 の square-tiled 表面から生じる Veech 群の合同部分群問題を解決すること。
• 3-square 表面の安定化子のみが合同部分群であり、それ以外のすべてが非合同部分群であることを確立すること。
• 指数とレベルの解析を用いて、すべての関連する n に対して Γ_A_n、Γ_B_n、Γ_C_n が非合同であることを確認すること。Catalan の予想を用いる。

提案手法

• 既知の分類結果と軌道数を用いて、ℋ(2) 内の原始的 square-tiled 表面の離散的軌道を分析する。
• n-square-tiled 表面の数の公式を用いて、安定化子群 Γ_A_n、Γ_B_n、Γ_C_n の指数とレベルを計算する。
• SL(2,ℤ) の部分群が合同であるための必要十分条件である、群のレベルが SL(2,ℤ) における群の指数を割り切ることを適用する。
• 群が合同であるならば、その指数 d は、cusp 幅に含まれる素数の積 δ に割り込まれることを用いる。
• Catalan の予想（Mihăilescu の定理）を用いて、群の指数およびレベルの可能な素因数を制限する。
• 特定の表面について、軌道 A_n および B_n における場合分けを実施し、n ≥ 5 のすべての n に対して d が δ を割り切らないことを示し、非合同性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℋ(2) に属する原始的 square-tiled 表面の Veech 群は、SL(2,ℤ) の合同部分群であるか？
• RQ2 n-square-tiled 表面の安定化子 Γ_A_n、Γ_B_n、Γ_C_n のうち、どのものが合同部分群であるか？
• RQ3 ℋ(2) の Veech 群が非合同となる正確な条件は何か？
• RQ4 正方形の数 n が、対応する Veech 群の合同性にどのように影響するか？
• RQ5 Catalan の予想を用いて、Veech 群の指数およびレベルにおける特定の素因数分解を除外できるか？

主な発見

• すべての偶数 n ≥ 4 に対して、安定化子群 Γ_C_n は SL(2,ℤ) の非合同部分群である。
• Conjecture 1 を仮定すると、すべての奇数 n ≥ 5 に対して、Γ_A_n および Γ_B_n は非合同部分群である。
• Conjecture 1 の下で、ℋ(2) 内で安定化子が合同部分群である唯一の原始的 square-tiled 表面は 3-square 表面である。
• n ≥ 5 のすべての n に対して、安定化子群の指数 d は、cusp 幅に含まれる素数 p についての積 ∏ p^{3λ−2}(p²−1) である δ を割り切らないため、非合同性が証明される。
• 証明は、Catalan の予想（Mihăilescu の定理）を用いて、群の指数およびレベルの可能な素因数を {2,3,5,7,17} に制限し、3-square 表面を除くすべてのケースを除外する。
• この結果により、ℋ(2) から生じる ℳ_2 内の Teichmüller 曲線のうち、合同部分群によって均一化されるのはたった一つであることが確認される。