[論文レビュー] Nondeterministic quantum communication complexity: the cyclic equality game and iterated matrix multiplication

Harry Buhrman, Matthias Christandl+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多者非決定的量子ブロードキャストモデルにおけるブール関数の量子通信複雑性が、関連するテンソルのサポートランクの対数に等しいことを確立する。このモデルにおける対数ランク予想を証明し、繰り返し行列積に関連する巡回等価問題を導入し、シュトラッセンのレーザー法およびヤングフラットネイングを用いて、奇数人称のプレイヤーに対して非自明なプロトコルが存在することを示し、行列積指数に関する新たな境界を得る。

ABSTRACT

We study nondeterministic multiparty quantum communication with a quantum generalization of broadcasts. We show that, with number-in-hand classical inputs, the communication complexity of a Boolean function in this communication model equals the logarithm of the support rank of the corresponding tensor, whereas the approximation complexity in this model equals the logarithm of the border support rank. This characterisation allows us to prove a log-rank conjecture posed by Villagra et al. for nondeterministic multiparty quantum communication with message-passing. The support rank characterization of the communication model connects quantum communication complexity intimately to the theory of asymptotic entanglement transformation and algebraic complexity theory. In this context, we introduce the graphwise equality problem. For a cycle graph, the complexity of this communication problem is closely related to the complexity of the computational problem of multiplying matrices, or more precisely, it equals the logarithm of the asymptotic support rank of the iterated matrix multiplication tensor. We employ Strassen's laser method to show that asymptotically there exist nontrivial protocols for every odd-player cyclic equality problem. We exhibit an efficient protocol for the 5-player problem for small inputs, and we show how Young flattenings yield nontrivial complexity lower bounds.

研究の動機と目的

• 多者非決定的量子ブロードキャストモデルにおけるブール関数の量子通信複雑性を特徴づけること。
• ヴィラグラらが提示したこのモデルのメッセージ渡しバージョンにおける対数ランク予想を解決すること。
• 巡回等価問題の複雑性を、テンソルサポートランクを通じて繰り返し行列積の複雑性に関連付けること。
• 代数的技術を用いて、k人称の巡回等価問題に対する新しいプロトコルおよび下界を構築すること。
• 量子通信複雑性のツールを用いて、行列積指数 ωk の定量的境界を確立すること。

提案手法

• プレイヤーがGHZに類似たエンタングルド状態を共有することで通信をシミュレートする量子ブロードキャストモデルを定義し、複雑性をブロードキャスト回数で測定する。
• 関数 f の量子複雑性が、f に対応するテンソル T に対して log₂(supp-rank(T)) に等しいことを証明する。
• サポートランクの特徴づけを用いて、量子通信複雑性を漸近的エンタングルメント変換および代数的複雑性理論に関連付ける。
• k人称のグラフ的等価問題を導入し、特にサイクルグラフ Ck に注目し、n×n×n×n×n インデックス上の5次テンソルとしての巡回等価テンソル IMMₙᵏ を定義する。
• 巡回等価テンソルにシュトラッセンのレーザー法を適用し、奇数 k に対する通信複雑性の漸近的上界を得る。
• ヤングフラットネイングを用いて、奇数 k ≥ 3 に対する量子複雑性の非自明な下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多者量子ブロードキャストモデルにおいて、量子通信複雑性とテンソルサポートランクの正確な関係は何か？
• RQ2 プレイヤー数 k が奇数である場合、巡回等価問題に対して非自明な量子プロトコルが存在するか？
• RQ3 巡回等価問題の複雑性は、繰り返し行列積の複雑性とどのように関連するか？
• RQ4 5人称の巡回等価問題に対する量子通信複雑性の最もタイトな上界および下界は何か？
• RQ5 シュトラッセンのレーザー法およびヤングフラットネイングといった代数的技術は、行列積指数 ωk の改善された境界をもたらすか？

主な発見

• ブロードキャストモデルにおけるブール関数の量子通信複雑性は、その関連テンソルのサポートランクの対数に正確に等しい。
• k人称のメッセージ渡しモデルでは、ブロードキャストモデルより複雑性が最大で k−1 倍高いが、この境界はタイトである。
• 奇数 k ≥ 3 に対して、繰り返し行列積テンソルにシュトラッセンのレーザー法を適用することで、巡回等価問題に対する非自明な量子プロトコルが存在することが示された。
• 小さな入力に対して、5人称の巡回等価問題の明示的な量子プロトコルが構築され、非自明な効率性が実証された。
• ヤングフラットネイングにより、奇数 k ≥ 3 に対する量子複雑性の非自明な下界が得られ、古典的境界を超える非自明なプロトコルの存在が確認された。
• 行列積指数 ω₅ は 4.84438 未満に上界付けられ、不等式 ω₅ ≤ log_q((q+1)^5 / 2) から導かれたもので、大規模な q に対して古典的境界の 5 を改善する。