[論文レビュー] Nonexistence of Generalized Bent Functions From $Z_{2}^{n}$ to $Z_{m}$

Haiying Liu, Keqin Feng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、代数的整数論、特に円分体および虚二次体を用いて、$ℚ_2^n$ から $ℚ_m$ への一般化されたバント関数（GBF）の非存在性を確立する。$m$ が奇素数のべきである場合、または $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ で $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$、$p_2 \equiv 5 \pmod{8}$、$ℑ{p_2}{p_1} = 1$ を満たす場合、特に $n$ が奇数または類群不変量に対して小さいとき、タイプ \{m,n\} のGBFは存在しないことが示される。

ABSTRACT

Several nonexistence results on generalized bent functions $f:Z_{2}^{n} ightarrow Z_{m}$ presented by using some knowledge on cyclotomic number fields and their imaginary quadratic subfields.

研究の動機と目的

• 様々な $m$ および $n$ に対して、$ℚ_2^n$ から $ℚ_m$ への一般化されたバント関数（GBF）の存在問題を解決すること。
• 古典的ブールバント関数の場合（$m=2$）を越えて、より高い $m$ における既知の非存在結果を拡張すること。
• 代数的整数論—特に円分体および類群構造—を用いて、新たな非存在定理を導出すること。
• 特に $n$ が奇数であるか、$m$ が特定の素因数分解を持つ場合に、GBF が存在しないような $m$ および $n$ に関する条件を同定すること。
• $ℚ(\zeta_m)$ から分解体および虚二次部分体への体の降下技術を用いて、先行結果を一般化すること。

提案手法

• GBF であるためには、$\zeta_m = e^{2\pi i/m}$ を用いて定義されるフーリエ変換 $W_f(y) = \sum_{x \in \mathbb{Z}_2^n} (-1)^{x \cdot y} \zeta_m^{f(x)}$ の大きさが正確に $2^{n/2}$ でなければならない。
• この $W_f(y)$ の値が、円分体 $K = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ の整数環 $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ 内の代数的整数として扱われる。
• 虚二次部分体 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$ から得られる、$K$ 内の素数の分解法則および類体論を適用する。
• 体の降下法を用いる：まず $K$ から $K$ 内の 2 の分解体 $M$ へ、次にノルム写像を介して虚二次部分体 $T$ へと降下する。
• 特に、素イデアルの位数および非主イデアルの存在を用いて、GBF が存在すると仮定した場合の矛盾を導出する。
• 二次相互法則およびリーマン記号の条件、例えば $\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \pm 1$ を用いて、$x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$ のようなディオファントス方程式の可解性を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような $m$ および $n$ の条件下で、$f: \mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{Z}_m$ となる一般化されたバント関数が存在しないのか？
• RQ2 $p$ を奇素数とし、$n$ を奇数とするとき、$m = p^a$ に対して GBF が非存在であることを証明できるか？
• RQ3 虚二次体の類群構造は、GBF の非存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 環 $\mathcal{O}_T$ 内での素数の分解法則および関連するディオファントス方程式の可解性は、GBF の存在にどのような制限を加えるか？
• RQ5 体の降下法を $ℚ(\zeta_m)$ から $T$ へと体系的に適用することで、合成数 $m$ に対して非存在結果を導出できるか？

主な発見

• 任意の奇素数のべき $p^a$ および任意の $n \geq 1$ に対して、タイプ $\{p^a, n\}$ の一般化されたバント関数は存在しない。これは円分体論および類数の議論により証明される。
• $m = 2p^a$ で $p \equiv 3,5 \pmod{8}$、または $p \equiv 1 \pmod{8}$ かつ $2$ が $\mathbb{Z}_p^*$ 内で偶数位数を持つ場合、$n$ が奇数のとき GBF は存在しない。
• $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}$ で $p_1 \equiv 3 \pmod{8}$、$p_2 \equiv 5 \pmod{8}$、$ℑ{p_2}{p_1} = 1$ のとき、$n$ が奇数、または $n < r/s$（$r$ は $x^2 + p_1 p_2 y^2 = 2^{r+2} p_2$ の最小解指数）のとき、GBF は存在しない。
• すべての $p_i \equiv 3 \pmod{8}$ またはすべての $p_i \equiv 5 \pmod{8}$ である $m = 2p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ に対して、$n$ が奇数のとき GBF は存在しない。
• 非存在性は、虚二次体 $T = \mathbb{Q}(\sqrt{-p_1 p_2})$ の類群による障害により、必要な代数的整数 $W_f(y)$ が $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ 内に存在できないことから導かれる。
• $m = 2 \cdot 19^{a_1} \cdot 29^{a_2}$ の明示例では、$n = 1,3,5,7,9,11$ に対して GBF は存在せず、$l < 13$ のとき $19x^2 + 29y^2 = 2^{l+2}$ が解をもたないためであり、$r = 13$ が方程式に解をもつ最小の指数である。