[論文レビュー] Nonlinear elliptic equations with measures revisited

Haı̈m Brezis, Moshe Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非線形性の臨界成長に起因して古典的解が存在しない場合に、測度データを伴う非線形楕円型方程式の可解性を検討する。特徴的な手法として、切断に基づく近似スキームを導入し、近似解の収束を分析することで、特異集合の容量と解の存在の間の明確な関係を確立する。その結果、ラプラシアンと$L^1$関数に関連する容量が、古典的な$H^1$-容量の2倍に等しいことを証明する。

ABSTRACT

We study the existence of solutions of the nonlinear problem $$ \left\{ \begin{alignedat}{2} -Δu + g(u) & = μ& & \quad ext{in } Ω,\\ u & = 0 & & \quad ext{on } \partial Ω, \end{alignedat} ight. $$ where $μ$ is a Radon measure and $g : \mathbb{R} o \mathbb{R}$ is a nondecreasing continuous function with $g(0) = 0$. This equation need not have a solution for every measure $μ$, and we say that $μ$ is a good measure if the Dirichlet problem above admits a solution. We show that for every $μ$ there exists a largest good measure $μ^* \leq μ$. This reduced measure has a number of remarkable properties.

研究の動機と目的

• 非線形性が臨界成長に達した場合に、非線形楕円型方程式の解が存在しないメカニズムを理解すること。
• 測度データが可積分性の閾値を超えるために元の問題に解が存在しない場合の、近似解の挙動を分析すること。
• 特に臨界および超臨界領域において、解が存在するための測度の集合を特徴づけること。
• ラプラシアンに関連する容量と古典的な$H^1$-容量との間の明確な関係を確立すること。
• 近似手法を精緻化することで、符号付き測度やより一般的なデータに対しても、解の存在および収束に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 非線形性$g$を、コンパクト集合上で一様収束する臨界より小さい関数列$g_n$に置き換える、切断に基づく近似スキームを導入する。
• 双対性による弱解の定義を用いる：$u$が(0.1)を解くとは、任意の$\zeta \in C^2_0(\overline{\Omega})$に対して$\int_\Omega u(-\Delta\zeta) + \int_\Omega g(u)\zeta = \int_\Omega \zeta\,d\mu$が成り立つこと。
• 特に$H^1$-容量および$\Delta$-関連容量$\operatorname{cap}_{\Delta,1}$を用いた容量論的手法により、解の存在を妨げる特異集合を特徴づける。
• 畳み込みおよび滑らか化技術を用いてデータを正則化し、近似列を構成する。
• 上調和関数とその切断を用いた構成を通じて、テスト関数のラプラシアンの$L^1$ノルムと$H^1$-容量との間の重要な双対性を確立する。
• 滑らかで compact な台を持つ関数列を巧みに構成し、$\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K) = 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$を証明する。この際、$K$の近傍で$\psi_n = 1$かつ$0 \leq \psi_n \leq 1$を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度$\mu$と臨界または超臨界な非線形性$g$を伴う方程式$-\Delta u + g(u) = \mu$が、どのような条件下で解をもつか。
• RQ2 測度の集中や臨界非線形性のため元の問題に解が存在しない場合、近似解列$u_n$はどのように振る舞うか。
• RQ3 テスト関数のラプラシアンの$L^1$ノルムを用いて、コンパクト集合$K$の容量をどのように特徴づけられるか。
• RQ4 $H^1$-容量と$\Delta$-関連容量$\operatorname{cap}_{\Delta,1}$との間の正確な関係は何か。
• RQ5 臨界ケースでさえも、$\mu$を$L^1$および$L^p$成分に分解することによって、解の存在を特徴づけられるか。

主な発見

• 非線形性が連続的かつ非減少であるにもかかわらず、$g(t) = |t|^{p-1}t$で$p \geq \frac{N}{N-2}$、$\mu = \delta_a$（デルタ関数）の場合、方程式$-\Delta u + g(u) = \mu$は解をもたない。
• 臨界より小さい$p < \frac{N}{N-2}$のとき、任意の測度$\mu$に対して方程式は解をもつ。これは解の存在の下限が$subcritical$であることを確認する。
• コンパクト集合$K \subset \Omega$に対して、$\varphi \in C^2_c(\Omega)$で$\varphi \geq 1$ on $K$を満たすものについて$\|\Delta\varphi\|_{L^1}$の下界として定義される容量$\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K)$は、$\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K) = 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$を満たす。
• $g_n \nearrow g$による切断近似スキームにより得られる解$u_n$は弱収束するが、$\mu$が非自明であっても極限が0となることがある。これは解の存在が失敗することを示している。
• 解の存在は、任意のボレル集合$A$について$|\mu|(A) = 0$が$\operatorname{cap}_{2,p'}(A) = 0$を満たす場合に同値である。これは臨界ケースにおけるBaras-Pierreの特徴づけを確認する。
• 容量の恒等式の証明は、$\|\Delta\psi_n\|_{L^1} \to 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$を満たす、滑らかで台がコンパクトな関数列$\psi_n$の構成に依存する。このとき$\psi_n$は$K$の近傍で1に等しく、$0 \leq \psi_n \leq 1$を満たす。