[論文レビュー] NONLINEAR OBSERVER IN THE ORIGINAL COORDINATES WITH DIFFEOMORPHISM EXTENSION AND JACOBIAN COMPLETION

Pauline Bernard, Vincent Andrieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可微分同相（diffeomorphisms）を用いて可観測性特異点と次元の不一致を扱うことで、元のシステム座標系上で直接作用する非線形オブザーバー設計を提案する。画像拡張とヤコビ行列補完を適用することで、収束特性を変更せずにオブザーバーの動的挙動を元の座標系に埋め込む。これにより、制限された状態領域や高次元のオブザーバーマニフォールドにおいても安定な推定が可能になる。

ABSTRACT

Typical difficulties we face in implementing observers in applications are: – because of physical constraints or observability singularities, the estimated state should remain in some restricted region of the system state manifold ; – observability may also impose the observer dynamics to live in an observer state manifold with higher dimension than the system state. In such a case, the observer implementation needs a left inverse of an injective immersion. In the approach we propose to round these difficulties, we do not modify the given converging dynamics of the observer, assumed to be globally defined. Instead we select carefully the coordinates to express them. This is done via appropriate diffeomorphisms: – one diffeomorphism sending the restricted region to the whole space. This is done by an image extension. – one function extending the injective immersion into a diffeomorphism and making the observer state coordinates equivalent to the system state coordinates complemented with extra ones introduced to fill the dimension gap. This is done via a Jacobian completion. Such a design makes possible the expression of the observer dynamics in the, maybe complemented, original coordinates. Several examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• 物理的制約により推定状態が状態多様体の制限された領域に閉じ込められる場合に、オブザーバーを実装する課題に対処する。
• 標準的なオブザーバー設計がグローバルに適用できない可観測性特異点を克服する。
• システム状態多様体の次元よりオブザーバー状態多様体の次元が高い場合の次元の不一致を解消する。
• 変更を加えずにオブザーバーの元の収束ダイナミクスを保持し、安定性と収束保証を確保する。
• 可微分同相による動的変換を通じて、元のシステム座標系でオブザーバーを実装可能にし、解釈を複雑にする座標変更を回避する。

提案手法

• 制限された状態領域の像を全状態空間へ拡張する可微分同相を適用し、画像拡張によりグローバルなオブザーバー設計を可能にする。
• 単射埋め込みを全可微分同相に拡張するためのヤコビ行列補完技術を用い、オブザーバー状態多様体における次元ギャップを解消する。
• 完成した可微分同相を通じて単射埋め込みの左逆写像を構築し、一貫したオブザーバー状態表現を保証する。
• 可微分同相変換を活用してオブザーバーの動的挙動を元のシステム座標系で表現し、元のシステム幾何構造を保持する。
• 元のダイナミクスを維持しながら座標表現を変換することで、オブザーバーのグローバルな存在と収束を保証する。
• 可微分同相を用いてオブザーバー状態を、元の座標が保持される空間へマッピングし、余剰次元は補完により埋める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推定状態が状態多様体の制限された領域に閉じ込められる場合に、どのようにしてオブザーバーを安定かつ収束的に設計できるか？
• RQ2 可観測性特異点があっても、元のシステム座標系で動作可能な数学的変換は何か？
• RQ3 次元ギャップを有する単射埋め込みをどのようにして可微分同相に拡張し、完全なオブザーバー状態表現を可能にするか？
• RQ4 ヤコビ行列補完技術が、オブザーバー動的挙動の左逆写像の存在をどのように保証するか？
• RQ5 元の収束特性を変更せずに、動的挙動を元の座標系で表現することは可能か？

主な発見

• 提案手法により、制限された領域を全空間に写像する可微分同相を用いることで、物理的制約や可観測性制約を克服し、元のシステム座標系でオブザーバー設計が可能になる。
• 可微分同相による画像拡張により、状態が有界領域に閉じ込められてもオブザーバーをグローバルに定義可能であることが保証される。
• ヤコビ行列補完により単射埋め込みが可微分同相に変換され、システムとオブザーバー状態多様体間の次元不一致が解消される。
• 収束行動に変更を加えずに元の座標系でオブザーバー動的挙動が表現可能であり、安定性保証が維持される。
• 完成した可微分同相を通じて単射埋め込みの左逆写像が構築可能であり、一貫した状態推定が可能になる。
• 幾つかの具体的な例により、実用的なオブザーバー設計における複雑な可観測性および幾何的制約の処理効果が明確に示されている。