[論文レビュー] Nonlinear oscillations and stability domains in fractional reaction-diffusion systems

V. V. Gafiychuk, Bohdan Datsko+1 more|ArXiv.org|Feb 7, 2007

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿は三次非線形性を有する分数階反応拡散系を調査し、分数階微分の指数 α と特徴的時間の比 τ₁/τ₂ が、周期的不安定性の発生を共同で決定することを示している。線形安定性解析と数値シミュレーションを組み合わせることで、α が臨界閾値 α₀ を超えると、均一または非均一な振動が出現し、定常状態の散逸的構造が不安定化することを示している。

ABSTRACT

We study a fractional reaction-diffusion system with two types of variables: activator and inhibitor. The interactions between components are modeled by cubical nonlinearity. Linearization of the system around the homogeneous state provides information about the stability of the solutions which is quite different from linear stability analysis of the regular system with integer derivatives. It is shown that by combining the fractional derivatives index with the ratio of characteristic times, it is possible to find the marginal value of the index where the oscillatory instability arises. The increase of the value of fractional derivative index leads to the time periodic solutions. The domains of existing of periodic solutions for different parameters of the problem are obtained. A computer simulation of the corresponding nonlinear fractional ordinary differential equations is presented. It is established by computer simulation that there exists a set of stable spatio-temporal tructures of the one-dimensional system under the Neumann and periodic boundary condition. The features of these solutions consist in the transformation of the steady state dissipative structures to homogeneous oscillations or space temporary structures at a certain value of fractional index and the ratio of characteristic times of system.

研究の動機と目的

• 三次非線形性を有する分数階反応拡散系における非線形振動の安定性と発生を分析すること。
• 分数階微分の指数 α と活性化剤・阻害剤の特徴的時間の比 τ₁/τ₂ が、定常状態の散逸的構造から振動的挙動への遷移に与える影響を特定すること。
• 線形および非線形解析を用いて、均一および空間時間的振動が発生する条件を調査すること。
• ノイマン境界条件および周期的境界条件の下で、安定な空間時間的構造の存在と性質を確立すること。

提案手法

• 時間発展を記述するため、0 < α < 2 の Caputo 分数階微分を用いた。
• システム行列の固有値分解を用いて、均一平衡状態まわりの線形安定性解析を、Frechet 微分を用いて実施した。
• 類似変換を用いて線形化系を対角形式に変換し、固有値 λ₁, λ₂ を用いて安定性を分析した。
• 非線形ダイナミクスを調査するため、異なる α および τ₁/τ₂ を用いた対応する分数階常微分方程式（FODE）の数値シミュレーションを実施した。
• 一次元領域にノイマン境界条件および周期的境界条件を適用し、初期条件として微小な空間的非一様な摂動を導入した。
• 解の時間発展を追跡することで、定常状態構造、脈動的非一様振動、均一振動への遷移を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分の指数 α は、三次非線形性を有する反応拡散系における周期的不安定性の発生にどのように影響するか？
• RQ2 活性化剤と阻害剤の特徴的時間の比 τ₁/τ₂ は、安定性および発生する振動の種類を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 定常状態の散逸的構造が、均一または非均一な振動的パターンに遷移する条件は何か？
• RQ4 均一解 ̄n₁ と α、τ₁/τ₂ によって定義される臨界安定性面が、安定領域と不安定領域の境界をどのように規定するか？

主な発見

• 臨界値 α₀ が存在し、α > α₀ の場合、系は定常状態の散逸的構造から振動的ダイナミクスに遷移する。振動は臨界安定性面で出現する。
• 周期的不安定性は、分数階微分の指数 α と比 τ₁/τ₂ が同時に閾値を超えることで生じ、時間周期的解が得られる。
• α < 1 の場合、準拡散的挙動により定常状態の散逸的構造が形成され、τ₁/τ₂ が減少するにつれて脈動的非一様振動に進化する。
• α > 1 の場合、超拡散的挙動により振動の発生が加速され、τ₁/τ₂ が小さい値で定常状態の構造が均一振動に不安定化する。
• 均一振動は散逸的構造よりも広い吸引域を有し、その出現により空間的パターンが破壊される。
• 変数 n₂ は振幅においてほとんど変化せず、その平衡値からのわずかなずれしか示さないため、動的遷移においては小さい役割を果たす。