[論文レビュー] Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws

Nail H. Ibragimov|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 21被引用数 121

ひとこと要約

本稿では、線形および準自己随伴性の一般化として、非線形自己随伴性の概念を導入し、対称性を用いてすべての微分方程式（線形および非線形系を含む）に対する保存則の構成を可能にする。主な貢献は、ネーターの定理を非線形に自己随伴な方程式へ拡張する統一的枠組みを提供することであり、形式的ラグランジアンと摂動系における近似対称性を用いて、保存ベクトルを体系的に導出可能にする。

ABSTRACT

The general concept of nonlinear self-adjointness of differential equations is introduced. It includes the linear self-adjointness as a particular case. Moreover, it embraces the previous notions of self-adjoint and quasi self-adjoint nonlinear equations. The class of nonlinearly self-adjoint equations includes, in particular, all linear equations. Conservation laws associated with symmetries can be constructed for all nonlinearly self-adjoint differential equations and systems. The number of equations in systems can be different from the number of dependent variables.

研究の動機と目的

• 線形、準自己随伴、非線形に自己随伴な方程式を統一的枠組みで一般化する自己随伴性の概念を拡張すること。
• 対称性に基づく手法を用いて、すべての非線形に自己随伴な微分方程式および方程式系に対する保存則の構成を可能にすること。
• 元来の自己随伴性概念の範囲外にあった線形方程式および方程式系に対しても、保存則理論の適用範囲を拡張すること。
• 摂動方程式（例：摂動KdV方程式）に対して、近似対称性と近似自己随伴性を用いて、近似保存則を構成する手法を開発すること。
• 形式的ラグランジアンと作用素恒等式を用いて、方程式が形式的に自己随伴でない場合でも、保存ベクトルを体系的に同定するアプローチを提供すること。

提案手法

• 従来の自己随伴性の定義を一般化し、従属変数を元の変数およびその微分の任意関数に置き換えた際に、随伴方程式が満たされることを要件とする。
• 形式的ラグランジアンの概念を用いて、対称性生成子と随伴方程式を含む一般式から保存ベクトルを導出する。
• 作用素恒等式法を用いて随伴性を検証し、特に線形および非線形偏微分方程式に対して保存則を導出する。
• 微分置換および形式的置換を用いて自己随伴性を検証し、短パルス方程式や灌漑モデルなどの複雑な系において保存ベクトルを構成する。
• 摂動方程式に適用する際には、近似自己随伴性と近似対称性を導入し、近似保存則の導出を可能にする。
• 一般式 (8.23) を用いて保存ベクトルを明示的に計算し、摂動系では正確な項と ε に依存する補正項に分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己随伴性の概念を、線形および非線形方程式を含む一様な枠組みに一般化する方法は何か？
• RQ2 対称性に基づく手法を用いて、すべての非線形に自己随伴な微分方程式に対して保存則を体系的に構成できるか？
• RQ3 形式的ラグランジアンは、形式的に自己随伴でない方程式に対し、保存ベクトルを導出する際に果たす役割は何か？
• RQ4 摂動非線形偏微分方程式（例：摂動KdV方程式）に対して、近似保存則をどのように導出できるか？
• RQ5 特異摂動系において、近似対称性と近似自己随伴性は、保存則の構造をどの程度保っているか？

主な発見

• 非線形に自己随伴な方程式のクラスは、すべての線形方程式を含み、従来の自己随伴性および準自己随伴性の概念を拡張する。
• すべての非線形に自己随伴な方程式は、形式的ラグランジアン法を用いてその対称性から保存則を構成可能である。
• 摂動KdV方程式は、近似自己随伴であることが示された。具体的には、随伴条件を ε 階級まで満たす近似置換が存在する。
• 摂動KdV方程式の近似保存則が明示的に導出され、保存ベクトルは $ C^1 = u^2 - 2ar{ ho}ig(xu + rac{3}{2}tu^2ig) $ および $ C^2 = u_x^2 - rac{2}{3}u^3 - 2uu_{xx} + \text{higher-order terms} $ で与えられ、$ o(ar{ ho}) $ まで有効である。
• 本手法は、KdV方程式に対して既知の保存則を正確に再現し、摂動系へも拡張可能であることが示され、小刻みな摂動下でも対称性および保存則の安定性が確認された。